Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 ,10, 11, 12, 13 trang 14, 15, 16, 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 1 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

a. (y = sqrt {3 - sin x} ) ;                                                                

b.  (y = {{1 - cos x} over {sin x}})

c. (y = sqrt {{{1 - sin x} over {1 + cos x}}} )                                                                 

d. (y = an left( {2x + {pi over 3}} ight)) 

Giải:

a. Vì (-1 ≤ sinx ≤ 1) nên (3 – sinx > 0) với mọi (x) nên tập xác định của hàm số là: (D =mathbb R)

b. (y = {{1 - cos x} over {sin x}}) xác định khi và chỉ khi (sin x ≠ 0)

(⇔ x ≠ kπ, k inmathbb Z)

Vậy tập xác định (D =mathbb R ackslash left{ kπ , k in mathbb Z ight})

c. Vì (1 – sinx ≥ 0) và (1 + cosx ≥ 0) nên hàm số xác định khi và chỉ khi (cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π + k2π, k inmathbb Z)

Vậy tập xác định (D =mathbb Rackslashleft{ π + k2π , k inmathbb Z ight})

d. (y = an left( {2x + {pi over 3}} ight)) xác định ⇔  (cos left( {2x + {pi over 3}} ight) e 0) 

( Leftrightarrow 2x + {pi over 3} e {pi over 2} + kpi Leftrightarrow {pi over {12}} + k{pi over 2},k in mathbb Z)

Vậy tập xác định (D =mathbb Rackslash left{ {{pi over {12}} + k{pi over 2},k inmathbb Z} ight})

Câu 2 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau :

a. (y = -2sin x)

b. (y = 3sin x – 2)

c. (y=sin x – cos x)

d. (y = sin xcos^2 x+ an x)

Giải:

a. (f(x) = -2sin x)

Tập xác định (D =mathbb R), ta có (f(-x) = -2sin (-x) = -f(x), ∀x inmathbb R)

Vậy (y = -2sin x) là hàm số lẻ.

b. (f(x) = 3sin x – 2)

Ta có:  (fleft( {{pi over 2}} ight) = 1;fleft( { - {pi over 2}} ight) = - 5)

(fleft( { - {pi over 2}} ight) e - fleft( { - {pi over 2}} ight)) và (fleft( { - {pi over 2}} ight) e fleft( {{pi over 2}} ight)) nên hàm số (y = 3sin x – 2) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

c. (f(x) = sin x – cos x)

Ta có:  (fleft( {{pi over 4}} ight) = 0;fleft( { - {pi over 4}} ight) = - sqrt 2 )

(fleft( { - {pi over 4}} ight) e - fleft( {{pi over 4}} ight)) và (fleft( { - {pi over 4}} ight) e fleft( {{pi over 4}} ight)) nên (y = sin x – cos x) không phải là hàm số lẻ cũng không phải là hàm số chẵn.

d.  (fleft( x ight) = sin x{cos ^2}x + an x)

Tập xác định (D = mathbb R ackslash  left{{pi over 2} + kpi ,k in mathbb Z ight})

(∀x in D) ta có (– x in D) và  

(eqalign{
& fleft( { - x} ight) = sin left( { - x} ight){cos ^2}left( { - x} ight) + an left( { - x} ight) cr
& = - sin x{cos ^2}x - an x = - fleft( x ight) cr} )

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Câu 3 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau :

a.  (y = 2cos left( {x + {pi over 3}} ight) + 3)

b.  (y = sqrt {1 - sin left( {{x^2}} ight)} - 1)

c.  (y = 4sin sqrt x )

Giải

a. Ta có: (-1 ≤ cos left( {x + {pi over 3}} ight) ≤ 1)

(eqalign{
& Rightarrow - 2 le 2cos left( {x + {pi over 3}} ight) le 2cr& Rightarrow 1 le 2cos left( {x + {pi over 3}} ight) + 3 le 5 Rightarrow 1 le y le 5 cr
& ext{ Vậy }cr&min ,y = 1,khi,x + {pi over 3} = pi + k2pi ,cr&,,,,,,, ext{ khi} ,x = {{2pi } over 3} + k2pi cr
&max ,y = 5,khi,x + {pi over 3} = k2pi , ext{ khi} ,x = - {pi over 3} + k2pi cr&left( {k in mathbb Z} ight) cr} )

b. Ta có:  (0 le 1 - sin {x^2} le 2)

(Rightarrow - 1 le sqrt {1 - sin {x^2}} - 1 le sqrt 2 - 1 )

(Rightarrow - 1 le y le sqrt 2 - 1)

(eqalign{
& ext{ Vậy },min ,y = - 1, ext{ khi} ,{x^2} = {pi over 2} + k2pi ,k ge 0,k inmathbb Z cr
&max,y = sqrt 2 - 1 ext{ khi},{x^2} = - {pi over 2} + k2pi ,k > 0,k in mathbb Z cr} )

c. Ta có:  ( - 1 le sin sqrt x le 1 Rightarrow - 4 le 4sin sqrt x le 4)

(⇒ -4 ≤ y ≤ 4)

(eqalign{
& ext{ Vậy }cr&min ,y = - 4, ext{ khi},sqrt x = - {pi over 2} + k2pi ,k > 0,k inmathbb Z cr
& max ,y = 4, ext{ khi},sqrt x = {pi over 2} + k2pi ,k ge 0,k inmathbb Z cr} )

Câu 4 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho các hàm số (f(x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = an x) và các khoảng

({J_1} = left( {pi ;{{3pi } over 2}} ight);{J_2} = left( { - {pi over 4};{pi over 4}} ight);{J_3} = left( {{{31pi } over 4};{{33pi } over 4}} ight);{J_4} = left( { - {{452pi } over 3};{{601pi } over 4}} ight)) 

Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng (J_1) ? Trên khoảng (J_2) ? Trên khoảng (J_3) ? Trên khoảng (J_4) ? (Trả lời bằng cách lập bảng).

Giải

({J_3} = left( {8pi - {pi over 4};8pi + {pi over 4}} ight),{J_4} = left( { - 150pi - {{2pi } over 3}; - 105pi - {pi over 4}} ight))

Ta có bảng sau, trong đó dấu “ +” có nghĩa “đồng biến”, dấu “0” có nghĩa “không đồng biến” :

Câu 5 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao ?

a. Trên mỗi khoảng mà hàm số (y = sin x) đồng biến thì hàm số (y = cos x) nghịch biến.

b. Trên mỗi khoảng mà hàm số (y = sin^2 x) đồng biến thì hàm số (y = cos^2 x) nghịch biến.

Giải:

a. Sai vì trên khoảng (left( { - {pi over 2};{pi over 2}} ight)) hàm số (y = sin x) đồng biến nhưng hàm số (y = cos x) không nghịch biến.

b. Đúng do  ({sin ^2}x + {cos ^2}x = 1)

Giả sử (y = sin^2 x) đồng biến trên khoảng (I), khi đó với (x_1,x_2in I) và (x_1<x_2) thì  ({sin ^2}{x_1}<  {sin ^2}{x_2})

( Rightarrow 1 - {sin ^2}{x_1} > 1 - {sin ^2}{x_2} Rightarrow {cos ^2}{x_1} > {cos ^2}{x_2})

(⇒ y = cos^2 x) nghịch biến trên (I).

Câu 6 trang 15 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số (y = f(x) = 2sin 2x)

a. Chứng minh rằng với số nguyên (k) tùy ý, luôn có (f(x + kπ) = f(x)) với mọi (x).

b. Lập bảng biến thiên của hàm số (y = 2sin 2x) trên đoạn  (left[ { - {pi over 2};{pi over 2}} ight].)

c. Vẽ đồ thị của hàm số (y = 2sin 2x).

Giải

a. Ta có (f(x + kπ) = 2sin 2(x + kπ) = 2sin (2x + k2π) = 2sin 2x = f(x), ∀ x inmathbb R)

b. Bảng biến thiên :

c. Đồ thị :

Câu 7 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau :

a.  (y = cos left( {x - {pi over 4}} ight))

b.  (y = an left| x ight|)

c.  (y = an x - sin 2x.)

Giải

a. Ta có:

(eqalign{
& fleft( x ight) = cos left( {x - {pi over 4}} ight),fleft( {{pi over 4}} ight) = 1,fleft( { - {pi over 4}} ight) = 0 cr
& fleft( { - {pi over 4}} ight) e fleft( {{pi over 4}} ight),va,fleft( { - {pi over 4}} ight) e - fleft( {{pi over 4}} ight) cr} )

Nên (y = cos left( {x - {pi over 4}} ight)) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

b. (f(x) = an|x|). Tập xác định (D =mathbb R ackslash  left{ {{pi over 2} + kpi ,k in mathbb Z} ight})

(x in D ⇒ -x in D) và (f(-x) = an |-x| = an |x| = f(x))

Do đó (y = an |x|) là hàm số chẵn.

c. (f(x) = an x – sin 2x). Tập xác định (D =mathbb R ackslash left{ {{pi over 2} + kpi ,k inmathbb Z} ight})

(x in D ⇒ -x in D) và (f(-x) = an(-x) – sin(-2x))

                                      (= - an x + sin 2x = -( an x – sin 2x) = -f(x))

Do đó (y = an x – sin 2x) là hàm số lẻ.

Câu 8 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Cho các hàm số sau :

a. (y = - {sin ^2}x)

b.  (y = 3{ an ^2}x + 1)

c. (y = sin xcos x)

d.  (y = sin xcos x + {{sqrt 3 } over 2}cos 2x)

Chứng minh rằng mỗi hàm số (y = f(x)) đó đều có tính chất :

(f(x + kπ) = f(x)) với (k inmathbb Z), (x) thuộc tập xác định của hàm số (f).

Giải

Với (k inmathbb Z) ta có :

a. (f(x) = -sin^2 x)

(f(x + kπ) = -sin^2(x + kπ) =   - {left[ {{{left( { - 1} ight)}^k}sin x} ight]^2} = - {sin ^2}x = fleft( x ight))

b.

(eqalign{
& fleft( x ight) = 3{ an ^2}x + 1 cr
& fleft( {x + kpi } ight) = 3{ an ^2}left( {x + kpi } ight) + 1 = 3{ an ^2}x + 1 = fleft( x ight) cr} )

c. (f(x) = sin xcos x)

(eqalign{
& fleft( {x + kpi } ight) = sin left( {x + kpi } ight).cos left( {x + kpi } ight) = {left( { - 1} ight)^k}sin x.{left( { - 1} ight)^k}cos x cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sin xcos x = fleft( x ight) cr} )

d.

(eqalign{
& fleft( x ight) = sin xcos x + {{sqrt 3 } over 2}cos 2x cr
& fleft( {x + kpi } ight) = sin left( {x + kpi } ight)cos left( {x + kpi } ight) + {{sqrt 3 } over 2}cos left( {2x + k2pi } ight) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = {left( { - 1} ight)^k}sin x{left( { - 1} ight)^k}cos x + {{sqrt 3 } over 2}cos 2x = sin xcos x + {{sqrt 3 } over 2}cos 2x = fleft( x ight) cr} )

Câu 9 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số (y = f(x) = Asin(ωx + ∝)) ((A, ω) và (∝) là những hằng số ; (A) và (ω) khác (0)). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên (k)), ta có (fleft( {x + k.{{2pi } over omega }} ight) = fleft( x ight)) với mọi (x).

Giải

Với (k in mathbb Z) ta có :

(eqalign{
& fleft( {x + k.{{2pi } over omega }} ight) = Asin left[ {omega left( {x + k{{2pi } over omega }} ight) + alpha } ight] cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = Asin left( {omega x + alpha + k2pi } ight) = Asin left( {omega x + alpha } ight) = fleft( x ight) cr} )

Câu 10 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình (y = {x over 3}) với đồ thị của hàm số (y = sin x) đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn  (sqrt {10} )

Giải

Đường thẳng (y = {x over 3}) đi qua các điểm (E(-3 ; -1)) và (F(3 ; 1))

Chỉ có đoạn thẳng (EF) của đường thẳng đó nằm trong dải (left{ {left( {x{ m{ }};{ m{ }}y} ight)| - 1{ m{ }} le { m{ }}y{ m{ }} le { m{ }}1} ight}) (dải này chứa đồ thị cuả hàm số (y = sin x)). Vậy các giao điểm của đường thẳng  (y = {x over 3})  với đồ thị của hàm số (y = sin x) phải thuộc đoạn (EF) ; mọi điểm của đoạn thẳng này cách (O) một khoảng dài hơn (sqrt {9 + 1} = sqrt {10} ) (và rõ ràng (E, F) không thuộc đồ thị của hàm số (y = sin x)).  

Câu 11 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Từ đồ thị của hàm số (y = sin x), hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó :

a. (y = -sin x)

b.  (y = left| {sin x} ight|)

c. (y = sin|x|)

Giải

a. Đồ thị của hàm số (y = -sin x) là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số (y = sin x)

b. Ta có:  (left| {sin x} ight| = left{ {matrix{{sin x, ext{ nếu },sin x ge 0} cr { - sin x, ext{ nếu },sin x < 0} cr} } ight.)

do đó đồ thị của hàm số (y = |sin x|) có được từ đồ thị ((C)) của hàm số (y = sin x) bằng cách :

- Giữ nguyên phần đồ thị của ((C)) nằm trong nửa mặt phẳng (y ≥ 0) (tức  nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ (Ox)).

- Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị ((C)) nằm trong nửa mặt phẳng (y < 0) (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ (Ox));

- Xóa phần đồ thị của ((C)) nằm trong nửa mặt phẳng (y < 0).

- Đồ thị (y = |sin x|) là đường liền nét trong hình dưới đây :

c. Ta có:  (sin left| x ight| = left{ {matrix{{sin x, ext{ nếu },x ge 0} cr { - sin x, ext{ nếu },x < 0} cr} } ight.)

do đồ thị của hàm số (y = sin|x|) có được từ đồ thị ((C)) của hàm số (y = sin x) bằng cách :

- Giữ nguyên phần đồ thị của ((C)) nằm trong nửa mặt phẳng (x ≥ 0) (tức nửa mặt phẳng bên phải trục tung kể cả bờ (Oy)).

- Xóa phần đồ thị của ((C)) nằm trong nửa mặt phẳng (x < 0) (tức nửa mặt phẳng bên trái trục tung không kể bờ (Oy)).

- Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị ((C)) nằm trong nửa mặt phẳng (x > 0)

- Đồ thị (y = sin|x|) là đường nét liền trong hình dưới đây : 

Câu 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 a. Từ đồ thị của hàm số (y = cos x), hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó :

(y = cos x + 2)

(y = cos left( {x - {pi over 4}} ight))

b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?

Giải:

a. Đồ thị của hàm số (y = cos x + 2) có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số (y = cos x) lên trên một đoạn có độ dài bằng (2), tức là tịnh tiến theo vectơ (2overrightarrow j (overrightarrow j = left( {0,1} ight)) là vecto đơn vị trên trục tung).

Đồ thị của hàm số (y = cos left( {x - {pi over 4}} ight)) có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx sang phải một đoạn có độ dài ({pi over 4}), tức là tịnh tiến theo vexto ({pi over 4}overrightarrow i (overrightarrow i = left( {1,0} ight)) là vecto đơn vị trên trục hoành).

b. Các hàm số trên đều là hàm tuần hoàn vì :

nếu (f(x) = cos x + 2) thì (f(x + 2π) = cos(x + 2π) + 2)

                                                     (= cos x + 2 = f(x), ∀x inmathbb R)

Và nếu (g(x) = cos left( {x - {pi over 4}} ight)) thì (g(x + 2π) =  cos left( {x + 2pi - {pi over 4}} ight)=cos left( {x - {pi over 4}} ight) = gleft( x ight)) , (∀x inmathbb R)

Câu 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét hàm số  (y = fleft( x ight) = cos {x over 2})

a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên (k), (f(x + k4π) = f(x)) với mọi (x).

b. Lập bảng biến thiên của hàm số (y = cos {x over 2}) trên đoạn ([-2π ; 2π]).

c. Vẽ đồ thị của các hàm số (y = cos x) và (y = cos {x over 2}) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy).

d. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), xét phép biến hình (F) biến mỗi điểm ((x ; y)) thành điểm ((x'; y')) sao cho (x'= 2x) và (y'= y). Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số (y = cos x) thành đồ thị của hàm số  (y = cos {x over 2}.) 

Giải

a.  (fleft( {x + k4pi } ight) = cos left( {{x over 2} + k2pi } ight) = cos {x over 2} = fleft( x ight))

b. Bảng biến thiên :

c.

d. Nếu đặt (x'= 2x, y'= y) thì (y = cos x) khi và chỉ khi (y' = cos {{x'} over 2}). Do đó phép biến đổi xác đinh bởi ((x ; y) ↦ (x' ; y')) sao cho (x' = 2x, y'= y) biến đồ thị hàm số (y = cos x) thành đồ thị hàm số  (y = cos {x over 2}.)

 Zaidap.com