Dãy Fibonacci

Số các "cụ tổ" của một con ong đực

Fibonacci đã mô tả dãy các tổ tiên của một con ong đực như sau : (Loài ong có thể thụ tinh đơn tính hoặc lưỡng tính). Giả sử rằng:

• Nếu một trứng ong thụ tinh bởi chính con ong cái nó nở thành một con ong đực
• Tuy nhiên, nếu một trứng thụ tinh bởi một ong đực nó nở thành một con ong cái.
• Như vậy một con ong đực sẽ luôn có một mẹ, và một con ong cái sẽ có cả bố và mẹ.

Ta bắt đầu tính số các con ong tổ tiên của một con ong đực. Xét một con ong đực ở thế hệ thứ n.

• Trước một đời, thế hệ n-1: Con ong đực chỉ có một mẹ (1 ong cái).
• Trước hai đời, thế hệ n-2: Con ong cái đời n-1 có 2 bố mẹ, một ong bố (đực) và một ong mẹ (cái)(2 con ong: 1 đực+ 1 cái)) .
• Trước ba đời, thế hệ n-3: Con ong cái thế hệ n-2 lại có hai bố mẹ, một ong bố (đực) và một mẹ (cái), và con đực thế hệ n-2 có một mẹ (3 con ong: 1 ong đực + 2 ong cái)
• Trước bốn đời, thế hệ n-4: Hai con cái, mỗi con có 2 cha, mẹ và mỗi con đực có một mẹ (5 con ong: 2 ong đực 3 ong cái)

Tiếp tục quá trình này ta sẽ có một dãy số Fibonacci.

Quan hệ với tỷ lệ vàng

Tỷ lệ vàng (phi), được đinh nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa cả đoạn ban đầu với đoan lớn hơn bằng tỷ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ. Có thể chứng minh rằng nếu quy độ dài đoạn lớn về đơn vị thì tỷ lệ này là nghiệm dương của phương trình:

, hay tương đương

chính là số .

Công thức dạng tường minh

Cũng như mọi dãy số xác định bởi công thức đệ quy tuyên tính, các số Fibonacci có thể tìm được công thức dạng tường minh.

Ta sẽ chứng minh (công thức Binet):

, trong đó là tỷ lệ vàng ở trên.

Như vậy, từ hệ thức truy hồi Fibonacci ta có:

sẽ dẫn tới phương trình xác định tỷ lệ vàng

(là phương trình đa thức dặc trưng của hồi quy).

Bây giờ định nghĩa hàm:

xác định với mọi số thực

Tất cả các hàm này tthỏa mãn hệ thức truy hồi Fibonacci, thật vậy:

Bây giờ chọn và . Tiếp tuc:

và

những chứng minh ở trên chứng tỏ rằng

với mọi n.

Chú ý rằng, với hai giá trị khởi đầu bất kỳ của a,b, hàm là công thức tường minh cho một loạt các hệ thức truy hồi.

Giới hạn của thương kế tiếp

Johannes Kepler, đã chứng minh sự hội tụ sau:

hội tụ tới tỷ lệ vàng (phi)

Thực ra kết quả này đúng với mọi cặp giá trị khởi đầu, trừ (0, 0).