Đáp án và đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 năm học 2016 – 2017

Đáp án và đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 năm học 2016 – 2017

Dưới đây là Đáp án và đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 Phòng GD&ĐT Huyện Nam Sách, đề thi hay và có đáp án chi tiết, thời gian làm bài 150 phút.

I. (2,0 điểm):  Cho biểu thức: 

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

2) Rút gọn biểu thức A.

3) Tìm giá trị của x để 2/A là số tự nhiên.

II. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: √(x +1) – √3x = 2x – 1

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p² – 2q² = 1

III. (2,0 điểm):  Cho hai đường thẳng:  y = x+3  (d₁)  ;     y = 3x+7   (d₂)

1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d₁) và (d₂) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

2) Gọi J là giao điểm của (d₁) và (d₂) . Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó.

IV. (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) đường kính A
B.Gọi M là điểm nằm giữa A và
B.Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.

1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và B
C.Chứng minh rằng:

3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).

IV. (1,0 điểm)

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1. Chứng minh rằng:

—– HẾT ——

Hướng dẫn giải và chấm điểm

1. (2 điểm)

1) Điều kiện: x ≥ 0 và x # 1 (0,25 điểm)

2) (1 điểm)

3) (0,75 điểm)

Với Điều kiện: x ≥ 0 và x # 1

Ta có: A = (√x + 1)²

Vì A = (√x + 1)² ≥ 1 với mọi x ≥ 0 nên

Mà √x + 1 > 0 nên √x + 1 = 1  hoặc √x + 1 = √2.

Do đó: x = 0 hoặc x = (√2 – 1)² = 3 – 2√2

Vậy 2/A là số tự nhiên khi x = 0 hoặc x = 3 – 2√2  (0,25 điểm)

2.

1) (1 điểm)

Giải phương trình: √(x +1) – √3x = 2x – 1 (1)

ĐK: x ≥ 0

Đặt a = √3x, b = √x+1 (a,b ≥ 0)

Khi đó ta được PT: b – a = a² – b^{2 <=>} (a –b)(a +b+1) = 0

Mà a + b + 1 > 0 nên a = b.

Vậy nghiệm của PT là x = 1/2

2) 1 điểm

Ta có:  p² -2q² = 1 ⇒ p² =2q² + 1 ⇒p lẻ.

Đặt p = 2k+1 (kN*) ⇒ (2k+1)² = 2q² + 1 ⇒q² = 2(k²+k)

⇒q chẵn mà q nguyên tố nên q = 2 ⇒p = 3 (thỏa mãn)

Vây cặp số nguyên tố (p;q) cần tìm là (3;2)

Câu 3. 2 điểm

a) 0,75 điểm

Tìm được A(0;3); B(0;7)

suy ra I(0;5)

b) 1,25 điểm

Hoành độ giao điểm J của (d₁) và (d₂) là nghiệm của PT: x+3 = 3x+7

⇒x = -2  ⇒y_J = 1 ⇒J(-2;1)

Suy ra:   OI² = 0² + 5² = 25; OJ² = 2² + 1² = 5; IJ² = 2² + 4² = 20

⇒OJ² + IJ² = OI² ⇒ tam giác OIJ là tam giác vuông tại J

4. 3 điểm

1) 1 điểm

2) 1 điểm

3) 1 điểm

Lấy O’ đối xứng với O qua A suy ra O’ cố định.

Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm A của mỗi đường.

Do đó O’C’ = OC = R không đổi

Suy ra C’ nằm trên đường tròn (O’,R) cố định khi M di chuyển trên đường kính AB.

Bài 5. 1 điểm

____- HẾT _____