Câu 88 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H). ...
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H).
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H).
a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi.
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi.
Giải:
a) Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
− MA là tia phân cách của góc HMC
Suy ra: (widehat {CMA} = widehat {HMA}) hay (widehat {CMH} = 2widehat {HMA})
− MB là tia phân giác của góc HMD
Suy ra: (widehat {HMB} = widehat {DMB}) hay (widehat {DMH} = 2widehat {HMB})
Tam giác ABM nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M
Suy ra: (widehat {AMB} = 90^circ ) hay (widehat {HMA} + widehat {HMB} = 90^circ )
Suy ra: (widehat {CMH} + widehat {HMD} = 2widehat {HMA} + 2widehat {HMB})
(= 2 (widehat {HMA} + widehat {HMB}) = 2.90^circ = 180^circ )
Vậy C, M, D thẳng hàng.
b) Trong đường tròn (M ; MH), theo (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = AH và BD = BH
Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH.
Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi
c) Ta có: AC ⊥ CD và BD ⊥ CD ( tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang
Mà OA = OB ( bán kính (O))
Và AC = MD ( bán kính (M))
Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABCD
Khi đó OM // AC. Suy ra: OM ⊥ CD hay (widehat {OMI} = 90^circ )
Tam giác OMI vuông tại M có MH ⊥ OI.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OM2 = OH.OI
Suy ra: OH.OI = R2 không đổi.
Sachbaitap.com
