Câu 76 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.

76. Trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (left( {AD//BC,,AD > BC} ight).) Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.

a) Chứng minh rằng:

(MN//left( {SBC} ight);,left( {MEN} ight)//left( {SBC} ight).)

b) Trong tam giác SAD vẽ EF//AD (left( {F in SD} ight).) Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng (MNE) với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE) là hình gì?

c) Chứng minh rằng SC//(MNE). Đường thẳng AF có song song với mp(SBC) hay không?

d) Cho M, N là hai điểm cố định lần lượt nằm trên các cạnh AB, CD sao cho MN//AD và E, F là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh SA, SD sao cho EF//AD. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I di động trên đường nào?

Giải

a) MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra:

(eqalign{
& left. matrix{
MN//BC hfill cr
BC subset left( {SBC} ight) hfill cr} ight} Rightarrow MN//left( {SBC} ight) cr
& left. matrix{
MN//left( {SBC} ight) hfill cr
ME//left( {SBC} ight) hfill cr} ight} Rightarrow left( {MEN} ight)//left( {SBC} ight) cr} )

b) Ta có 

(eqalign{
& EF//AD Rightarrow EF//MN cr
& Rightarrow EF subset left( {MNE} ight) Rightarrow F in left( {MNE} ight). cr} )

Mặt khác (F in SD,) do đó (F = left( {MNE} ight) cap SD.)

Thiết diện là hình thang MNFE.

c) Theo câu a), ta có (left( {SBC} ight)//left( {MNE} ight)) mặt khác (SC subset left( {SBC} ight))

Suy ra              SC // (MNE).

Đường thẳng AF không song song với mp(SBC) vì nếu AF // (SBC) thì :

(AF subset left( {MNE} ight) Rightarrow A in left( {MNE} ight)) (vô lí).

d) Xét ba mặt phẳng (SAB), (SCD) và (MNE). Ta có:

(left( {SAB} ight) cap left( {SCD} ight) = SJ) (J là giao điểm của AB và CD)

(eqalign{
& left( {SAB} ight) cap left( {MNE} ight) = ME cr
& left( {SCD} ight) cap left( {MNE} ight) = NF cr} )

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SJ, ME, NF đồng quy. Vậy điểm I phải di động trên đường thẳng SJ (trừ những điểm trong của đoạn SJ).

zaidap.com