Câu 7 trang 122 Hình học 11: Ôn tập chương III – Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian...

Bài 7. Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình thoi (ABCD) cạnh (a), góc (widehat {BAD} = 60^0) và (SA = SB = SD = {{asqrt 3 } over 2})

a) Tính khoảng cách từ (S)  đến mặt phẳng ((ABCD)) và độ dài cạnh (SC)

b) Chứng minh mặt phẳng ((SAC)) vuông góc với mặt phẳng ((ABCD))

c) Chứng minh (SB) vuông góc với (BC)

d) Gọi (varphi) là góc giữa hai mặt phẳng ((SBD)) và ((ABCD)). Tính ( anvarphi)

Trả lời:

a) Kẻ (SH⊥(ABCD))

Do (SA = SB = SD) suy ra (HA = HB = HC)

(⇒ H) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( ABD).

Do (AB = AD = a) và (widehat{ BAD} = 60^0) nên tam giác (ABD) là tam giác đều cạnh (a),

Ta có: 

(eqalign{
& AO = {{asqrt 3 } over 2} cr
& AH = {2 over 3}AO Rightarrow AH = {{asqrt 3 } over 3} cr} )

 Trong tam giác vuông (SAH), ta có: (SA = {{asqrt 3 } over 2};AH = {{asqrt 3 } over 3})

Tính ra: (SH = {{asqrt {15} } over 6})

Ta cũng có: (HC = {{2asqrt 3 } over 3})

Trong tam giác vuông (SHC):

(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2})      

Do đó ta tính được:

 (SC = {{asqrt 7 } over 2})

b) 

(left. matrix{
SH ot (ABCD) hfill cr
SH subset (SAC) hfill cr} ight} Rightarrow (SAC) ot (ABCD))

c) Ta có:

(eqalign{
& S{C^2} = {{7{a^2}} over 4}(1) cr
& B{C^2} = {a^2}(2) cr
& S{B^2} = {{3{a^2}} over 4}(3) cr} )

Từ (1), (2) và (3) ta có: (S{C^2} = B{C^2} + S{B^2})

Theo định lí Pytago đảo, tam giác (SBC) vuông tại (B).

d) Ta có:

(eqalign{
& left. matrix{
DB ot AC hfill cr
SH ot (ABCD) Rightarrow SH ot DB hfill cr} ight} Rightarrow DB ot (SAC) cr
& Rightarrow left{ matrix{
DB ot { m{OS}} hfill cr
{ m{DB}} ot AC hfill cr} ight. cr} )

Suy ra: (widehat{ SOH}) là góc giữa hai mặt phẳng ((SBD)) và ((ABCD))

Ta có:

(eqalign{
& widehat{ SOH} = varphi cr
& an varphi = {{SH} over {OH}} Rightarrow an varphi = sqrt 5 cr} )