Câu 69 trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD.

69. Trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang  (left( {AB//CD,,AB > CD} ight).) Gọi E là giao điểm của AD và BC; M là trung điểm của AB; G là trọng tâm của tam giác ECD.

a) Chứng minh rằng các điểm S, E, M, G cũng thuộc một mặt phẳng và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) theo cùng một đường thẳng (Delta ).

b) Gọi ({C_1}) và ({D_1}) là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh SC, SD sao cho (A{D_1}) và (B{C_1}) cắt nhau tại K. Chứng minh các điểm S, K, E thẳng hàng và giao điểm ({O_1}) của (A{C_1}) với (B{D_1}) thuộc (Delta ).

Giải 

a) Gọi N là giao điểm của EM và CD. Do M là trung điểm của AB và AB // CD nên N cũng là trung điểm của CD; suy ra G thuộc EM, hay (G in mpleft( {SEM} ight),) tức là các điểm S, E, M , G thuộc mp(SEM).

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì đường thẳng MN đi qua O. Vậy ba mặt phẳng (SEM), (SAC) và (SBD) đều có chung hai điểm S và O nên SO chính là giao tuyến chung (Delta ) của ba mặt phẳng trên.

b) Vì K thuộc (A{D_1}) và (B{C_1}) nên tương ứng K thuộc mp(SAD) và mp(SBC). Do đó K nằm trên giao tuyến SE của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Vậy ba điểm S, E, K thẳng hàng.

Điểm ({O_1}) nằm trên (A{C_1}) và (B{D_1}) nên ({O_1}) phải thuộc (SAC) và (SBD) (do (A{C_1} subset left( {SAC} ight),,B{D_1} subset left( {SBD} ight))). Từ đó, suy ra ({O_1}) phải thuộc giao tuyến (Delta ) của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

zaidap.com