Câu 64 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh

a) Chứng minh:

(x + 2sqrt {2x - 4}  = {left( {sqrt 2  + sqrt {x - 2} } ight)^2}) với (x ge 2);

b) Rút gọn biểu thức:

(sqrt {x + 2sqrt {2x - 4} }  + sqrt {x - 2sqrt {2x - 4} } ) với (x ge 2).

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(eqalign{
& x + 2sqrt {2x - 4} = x + 2sqrt {2left( {x - 2} ight)} cr
& = 2 + 2sqrt 2 .sqrt {x - 2} + x - 2 cr} )

( = {left( {sqrt 2 } ight)^2} + 2.sqrt 2 .sqrt {x - 2}  + {left( {sqrt {x - 2} } ight)^2})

( = {left( {sqrt 2  + sqrt {x - 2} } ight)^2}) (với (x ge 2))

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

(sqrt {x + 2sqrt {2x - 4} }  + sqrt {x - 2sqrt {2x - 4} } )

( = sqrt {2 + 2sqrt 2 .sqrt {x - 2}  + x - 2}  + sqrt {2 - 2sqrt 2 .sqrt {x - 2}  + x - 2} )

( = sqrt {{{left( {sqrt 2  + sqrt {x - 2} } ight)}^2}}  + sqrt {{{left( {sqrt 2  - sqrt x  - 2} ight)}^2}} )

( = left| {sqrt 2  + sqrt {x - 2} } ight| + left| {sqrt 2  - sqrt {x - 2} } ight|)

( = sqrt 2  + sqrt {x - 2}  + left| {sqrt 2  - sqrt {x - 2} } ight|)

- Nếu (sqrt 2  - sqrt {x - 2}  ge 0) thì 

(eqalign{
& sqrt {x - 2} le sqrt 2 Leftrightarrow x - 2 le 2 cr
& Leftrightarrow x - 2 le 2 Leftrightarrow x le 4 cr} )

Với (2 le x le 4) thì (left| {sqrt 2  - sqrt {x - 2} } ight| = sqrt 2  - sqrt {x - 2} )

Ta có: (sqrt 2  + sqrt {x - 2}  + sqrt 2  - sqrt {x - 2}  = 2sqrt 2 )

- Nếu (sqrt 2  - sqrt {x - 2}  < 0) thì 

(sqrt {x - 2}  > sqrt 2  Leftrightarrow x - 2 > 2 Leftrightarrow x > 4)

Với x > 4 thì (left| {sqrt 2  - sqrt {x - 2} } ight| = sqrt {x - 2}  - sqrt 2 )

Ta có: (sqrt 2  + sqrt {x - 2}  + sqrt {x - 2}  - sqrt 2  = 2sqrt {x - 2} )

Sachbaitap.com