Câu 63 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh

Chứng minh:

a) ({{left( {xsqrt y  + ysqrt x } ight)left( {sqrt x  - sqrt y } ight)} over {sqrt {xy} }} = x - y)

với x > 0 và y > 0;

b) ({{sqrt {{x^3}}  - 1} over {sqrt x  - 1}} = x + sqrt x  + 1) với (x ge 0) và (x e 1).

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

({{left( {xsqrt y  + ysqrt x } ight)left( {sqrt x  - sqrt y } ight)} over {sqrt {xy} }} = {{left( {sqrt {{x^2}y}  + sqrt {x{y^2}} } ight)left( {sqrt x  - sqrt y } ight)} over {sqrt {xy} }})

( = {{sqrt {xy} left( {sqrt x  + sqrt y } ight)left( {sqrt x  - sqrt y } ight)} over {sqrt {xy} }} = left( {sqrt x  + sqrt y } ight)left( {sqrt x  - sqrt y } ight))

( = {left( {sqrt x } ight)^2} - {left( {sqrt y } ight)^2} = x - y)

(với x > 0 và y > 0)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Vì x > 0 nên (sqrt {{x^3}}  = {left( {sqrt x } ight)^3})

Ta có:

({{sqrt {{x^3}}  - 1} over {sqrt x  - 1}} = {{{{left( {sqrt x } ight)}^3} - {1^3}} over {sqrt x  - 1}} = {{left( {sqrt x  - 1} ight)left( {x + sqrt x  + 1} ight)} over {sqrt x  - 1}})

( = x + sqrt x  + 1$ với (x ge 0) và (x e 1).

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Sachbaitap.com