Câu 62 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. (widehat A = {120^0},B{ m{D}} = a), cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy là 60°. Tính:

a) Đường cao của hình chóp.

b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCB).

Trả lời

 

a) Vì ABCD là hình thoi và (widehat {BA{ m{D}}} = {120^0}) nên ABC là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC thì (BC ot left( {AIS} ight)).

Mặt khác SAI là tam giác vuông tại A nên (widehat {SIA}) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy (ABCD). Theo giả thiết (widehat {SIA} = {60^0}).

Ta có (B{{ m{D}}^2} + A{C^2} = 4{ m{A}}{B^2}).

mà AC = AB nên

(AB = {{B{ m{D}}} over {sqrt 3 }} = {a over {sqrt 3 }} Rightarrow AI = {a over {sqrt 3 }}.{{sqrt 3 } over 2} = {a over 2}).

Vì (SA ot left( {ABC{ m{D}}} ight)) nên SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có :

(SA = AI. an {60^0}).

Vậy  (SA = {a over 2}sqrt 3 ).

b) Ta có (BC ot left( {SAI} ight)), từ đó (left( {SAI} ight) ot left( {SBC} ight)). Vậy nếu kẻ đường cao AH của tam giác SAI thì AH là khoảng cách từ A đến mp(SBC). Xét tam giác vuông SAI ta có:

(AH = {{SA.AI} over {SI}} = {{{{asqrt 3 } over 2}.{a over 2}} over {sqrt {{{3{{ m{a}}^2}} over 4} + {{{a^2}} over 4}} }} = {{asqrt 3 } over 4}.)

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCB) bằng ({{asqrt 3 } over 4}).

Sachbaitap.com