Câu 60 trang 98 SBT Toán 8 tập 2: Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng...

Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB). Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N

Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau.

 Giải:

(hình trang 125 sgbt)

Gọi Q là giao điểm của PF và AK, I là giao điểm của PE và CL.

Trong tam giác FBE, ta có:

PE // AK hay QM // PE

Suy ra: ({{FQ} over {FB}} = {{FM} over {FE}}) (Định lí Ta-lét )         (1)

Trong tam giác ALO, ta có:

PF // CL hay FQ // LO

Suy ra: ({{AF} over {AL}} = {{FQ} over {LO}})  (Định lí Ta-lét )                      (2)

Trong tam giác ALC,ta có:

PF // CL

Suy ra: ({{AF} over {AL}} = {{FP} over {CL}})  (Định lí Ta-lét )                         (3)

Từ (2) và (3) suy ra ({{FQ} over {LO}} = {{FP} over {CL}} Rightarrow {{FQ} over {FP}} = {{LO} over {CL}})

Vì LO = ({1 over 3}) CL (tính chất đường trung tuyến) nên ({{FQ} over {FP}} = {1 over 3})                  (4)

Từ (1) và (4) suy ra ({{FM} over {FE}} = {1 over 3} Rightarrow FM = {1 over 3}FE)

Trong tam giác EBF, ta có:

 PF // CL hay NI // PF

Suy ra: ({{EI} over {EP}} = {{EN} over {EF}})  (Định lí Ta-lét )                               (5)

Trong tam giác CKO, ta có: EI // OK

Suy ra: ({{CE} over {CK}} = {{EI} over {KO}})  (Định lí Ta-lét )         (6)

Trong tam giác CKA, ta có: PE // AK

Suy ra: ({{CE} over {CK}} = {{EP} over {AK}})  (Định lí Ta-lét )         (7)

Từ (6) và (7) suy ra :

 (eqalign{  & {{EI} over {OK}} = {{EP} over {AK}}  cr  &  Rightarrow {{EI} over {EP}} = {{OK} over {AK}} cr} )

Vì OK = ({1 over 3})AK (tính chất đường trung tuyến) nên:

({{EI} over {EP}} = {1 over 3})                   (8)

Từ (5) và (8) suy ra :

(eqalign{  & {{EN} over {EF}} = {1 over 3}  cr  &  Rightarrow EN = {1 over 3}EF cr} )

Ta có:

(eqalign{  & MN = EF – left( {EN + FM} ight)  cr  &  = EF – left( {{1 over 3}EF + {1 over 3}EF} ight) = {1 over 3}EF cr} )

Vậy EN = MN = NF.