Câu 55 trang 98 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH.FH

Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH.FH

Giải:

(hình trang 121 sgbt)

 

Xét ∆ AFH và ∆ CDH, ta có:

(widehat {AFH} = widehat {CDH} = 90^circ )

(widehat {AHF} = widehat {CHD})  (đối đỉnh)

Suy ra: ∆ AFH đồng dạng ∆ CDH (g.g)

Suy ra: ({{AH} over {CH}} = {{FH} over {DH}})

Suy ra: AH.DH = CH.FH                      (1)

Xét ∆ AEH và ∆ BDH, ta có:

(widehat {AEH} = widehat {BDH} = 90^circ )

(widehat {AHE} = widehat {BHD}) (đối đỉnh)

Suy ra: ∆ AEH đồng dạng ∆ BDH (g.g)

Suy ra: ({{AH} over {BH}} = {{EH} over {DH}})

Suy ra: AH.DH = BH.EH                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH.DH = BH.EH = CH.FH.