Câu 5 trang 146 SGK Giải tích 12

Câu 5 trang 146 SGK Giải tích 12

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1

Cho hàm số: y = x⁴ + ax² + b

a) Tính a, b để hàm số có cực trị bằng ({3 over 2}) khi x = 1

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi (a = {{ - 1} over 2},b = 1)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1

Trả lời:

Ta có: y’ = 4x³ + 2ax

a) Nếu hàm số có cực trị bằng ({3 over 2}) khi x = 1 thì:

(left{ matrix{
y'(1) = 0 hfill cr
y(1) = {3 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
4 + 2a = 0 hfill cr
1 + a + b = {3 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
a = - 2 hfill cr
b = {5 over 2} hfill cr} ight.)

b) Khi (a = {{ - 1} over 2},b = 1) ta có hàm số: (y = {x^4} - {1 over 2}{x^2} + 1)

_ Tập xác định: (-∞, +∞)

_ Sự biến thiên: y’ = 4x³ – x = x(4x² – 1)

y’ = 0 ⇔ x = 0, (x =  pm {1 over 2})

Trên các khoảng (({{ - 1} over 2},0) cup ({1 over 2}, + infty )) , y’ > 0 nên hàm số đồng biến

Trên các khoảng (( - infty ,{{ - 1} over 2}) cup (0,{1 over 2})) , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến

_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CD = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại (x =  pm {1 over 2},{y_{CT}} = {{15} over {16}})

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 1, không cắt trục hoành.

c) Với y = 1 ta có phương trình:

 ({x^4} - {1 over 2}{x^2} = 0 Leftrightarrow x in left{ {0, pm {1 over {sqrt 2 }}} ight})

Trên đồ thị có 2 điểm với tung độ bằng 1 là:

 ({M_1}({{ - 1} over {sqrt 2 }},1);{M_2}(0,1);{M_3}({1 over {sqrt 2 }},1))

Ta lấy y’(0) = 0 nên tiếp tuyến với đồ thị tại M₂ có phương trình là y = 1

Lại có:

(y'({1 over {sqrt 2 }}) = {1 over {sqrt 2 }};y'({1 over {sqrt 2 }}) = {{ - 1} over {sqrt 2 }})

(y = {{ - 1} over {sqrt 2 }}x + {1 over 2} Leftrightarrow y = {1 over {sqrt 2 }}x + {1 over 2})