Câu 5.52 trang 187 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số

Cho hàm số

        (fleft( x ight) = x + {{{x^2}} over 2} + {{{x^3}} over 3} + ... + {{{x^{n + 1}}} over {n + 1}},,left( {n in N} ight))

Tìm

a) (mathop {lim }limits_{x o 1} f'left( x ight))                          b) (mathop {lim }limits_{x o 2} f'left( x ight))               

c) (mathop {lim }limits_{x o infty } f'left( {{1 over 2}} ight))                      d) (mathop {lim }limits_{x o infty } f'left( 3 ight))

Giải

Ta có

                 (f'left( x ight) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n})

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu ({u_1} = 1) và công bội (q = x e 1) ta được:

                        (f'left( x ight) = {{1 - {x^{n + 1}}} over {1 - x}})

Từ đó suy ra

a) (mathop {lim }limits_{x o 1} f'left( x ight) = mathop {lim }limits_{x o 1} left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^n}} ight) = n + 1)                     

b) (mathop {lim }limits_{x o 2} f'left( x ight) = mathop {lim }limits_{x o 2} {{1 - {x^{n + 1}}} over {1 - x}} = {{1 - {2^{n + 1}}} over {1 - 2}} = {2^{n + 1}} - 1)

c) (mathop {lim }limits_{x o infty } f'left( {{1 over 2}} ight) = mathop {lim }limits_{x o infty } {{1 - {{left( {{1 over 2}} ight)}^n}} over {1 - {1 over 2}}} = 2)(vì(mathop {lim }limits_{n o  + infty } {left( {{1 over 2}} ight)^{n + 1}} = 0))

d) (mathop {lim }limits_{x o infty } f'left( 3 ight) = mathop {lim }limits_{x o infty } {{1 - {3^{n + 1}}} over {1 - 3}} = mathop {lim }limits_{x o infty } {1 over 2}left( {{3^{n + 1}} - 1} ight) =  + infty )

(vì (mathop {lim }limits_{n o infty } {left( {{1 over 3}} ight)^{n + 1}} = 0) suy ra(mathop {lim }limits_{n o infty } {3^{n + 1}} =  + infty ))

Sachbaitap.com