Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao: Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC...

Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng ({sin ^2}alpha  = {sin ^2}eta  + {sin ^2}gamma )

Giải

Kẻ AH ⊥ mp(P) và AI ⊥ BC

Thì (eta  = widehat {ABH},gamma  = widehat {ACH},alpha  = widehat {AIH}.)

Vì ΔABC vuông ở A nên :

(eqalign{  & {1 over {A{I^2}}} = {1 over {A{B^2}}} + {1 over {A{C^2}}}  cr  &  Rightarrow {{A{H^2}} over {A{I^2}}} = {{A{H^2}} over {A{B^2}}} + {{A{H^2}} over {A{C^2}}}  cr  & hay,,{sin ^2}alpha  = {sin ^2}eta  + {sin ^2}gamma  cr} )