Câu 1 trang 120 SGK Hình 11 Nâng cao, Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a...

Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và (widehat {AOB} = widehat {AOC} = 60^circ ,widehat {BOC} = 90^circ )

a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông và OA ⊥ BC

b. Tìm đường vuông góc chung IJ của OA và BC ; tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.

c. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) vuông góc với nhau.

Giải

a. Vì (widehat {AOB} = widehat {AOC} = 60^circ )

OA = OB = OC = a

Nên AB = AC = a

Suy ra ΔABC = ΔOBC

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A

Gọi J là trung điểm của BC thì OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC nên OA ⊥ BC.

b. Gọi I là trung điểm của OA, do OJ = AJ nên JI ⊥ OA, mà JI ⊥ BC, vậy IJ là đường vuông góc chung của OA và BC.

(I{J^2} = O{J^2} – O{I^2} = {left( {{{asqrt 2 } over 2}} ight)^2} – {left( {{a over 2}} ight)^2} = {{{a^2}} over 4}.)

Suy ra : d(OA ; BC) = ({a over 2})

c. Từ các kết quả trên ta có : OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC, IJ = ({1 over 2}OA)

Vậy góc giữa mp(OBC) và mp(ABC) bằng góc (widehat {OJA}) và (widehat {OJA} = 90^circ ,) do đó mp(OBC) ⊥ mp(ABC).