Câu 3.83 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy tính tổng sau:

Cho dãy số (({u_n})) với ({u_n} = {{{2^n} - {5^n}} over {{2^n} + {5^n}}},) và số nguyên dương N. Hãy tính tổng sau:

                                     ({S_N} = {1 over {{u_1} - 1}} + {1 over {{u_2} - 1}} + .... + {1 over {{u_N} - 1}}.)

Giải

Với mỗi (n ge 1,) ta có

                  ({1 over {{u_n} - 1}} =  - {1 over 2}left( {{{{2^n}} over {{5^n}}} + 1} ight))

Do đó: ({S_N} =  - {1 over 2}left( {{T_N} + N} ight),) trong đó ({T_N} = {2 over 5} + {{{2^2}} over {{5^2}}} + ... + {{{2^N}} over {{5^N}}})

Dễ thấy, ({T_N}) là tổng N số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng ({2 over 5}) và công bội bằng ({2 over 5}). Vì thế

             ({T_N} = {2 over 5} imes {{1 - {{left( {{2 over 5}} ight)}^N}} over {1 - {2 over 5}}} = {2 over 3} imes {{{5^N} - {2^N}} over {{5^N}}})

Suy ra: 

({S_N} =  - {1 over 2}left( {{2 over 3} imes {{{5^N} - {2^N}} over {{5^N}}} + N} ight) = {{ - left( {2 + 3N} ight){{.5}^N} + {2^{N + 1}}} over {{{6.5}^N}}})

Sachbaitap.com