Câu 29 trang 117 Toán Hình 11 Nâng cao, Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD....

Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

ΔACD cân nên AN ⊥ CD và ΔBCD cân nên BN ⊥ CD.

Do đó CD ⊥ (ABN) suy ra CD ⊥ MN.

Tương tự ta cũng có AB ⊥ MN

Vậy d(AB, CD) = MN

Ta có:

(eqalign{  & M{N^2} = A{N^2} – A{M^2} = A{D^2} – N{D^2} – A{M^2}  cr  &  = {a^2} – {{c{‘^2}} over 4} – {{{c^2}} over 4} = {1 over 4}left( {4{a^2} – c{‘^2} – {c^2}} ight) cr} )

Vậy (MN = {1 over 2}sqrt {4{a^2} – c{‘^2} – {c^2}} ) với điều kiện (4{a^2} > {c^2} + c{‘^2})