Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao, Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J...

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a. Tính AB, IJ theo a và x.

b. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc ?

Giải

a. Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD.

Do mp(ACD) ⊥ mp(BCD) nên AJ ⊥ mp(BCD)

Mặt khác, AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra (AB = AJsqrt 2 ,A{J^2} = {a^2} – {x^2},hay,AJ = sqrt {{a^2} – {x^2}} .)

Vậy (AB = sqrt {2left( {{a^2} – {x^2}} ight)} ) với a > x

Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên (JI = {1 over 2}AB,) tức là (IJ = {1 over 2}sqrt {2left( {{a^2} – {x^2}} ight)} .)

Rõ ràng là CI và DI vuông góc với AB.

Vậy mp(ABC) ⊥ mp(ABD) ( Leftrightarrow widehat {CID} = 90^circ )

( Leftrightarrow IJ = {1 over 2}CD Leftrightarrow {1 over 2}sqrt {2left( {{a^2} – {x^2}} ight)}  = {1 over 2}.2x)

(Leftrightarrow x = {{asqrt 3 } over 3})