Câu 19 trang 7 Sách bài tập Toán 8 tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:...

Tìm giá trị nhỏ nhất  của các đa thức:

a. P( = {x^2} – 2x + 5)

b. Q( = 2{x^2} – 6x)

c. M( = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10)

Giải:                                   

a. P(= {x^2} – 2x + 5)( = {x^2} – 2x + 1 + 4 = {left( {x – 1} ight)^2} + 4)

Ta có: 

({left( {x – 1} ight)^2} ge 0 Rightarrow {left( {x – 1} ight)^2} + 4 ge 4)

( Rightarrow P = {x^2} – 2x + 5 = {left( {x – 1} ight)^2} + 4 ge 4)

( Rightarrow P = 4)  là giá trị bé nhất ⇒ ({left( {x – 1} ight)^2} = 0 Rightarrow x = 1)

Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi  

b. Q( = 2{x^2} – 6x)( = 2left( {{x^2} – 3x} ight) = 2left( {{x^2} – 2.{3 over 2}x + {9 over 4} – {9 over 4}} ight))

 ( = 2left[ {{{left( {x – {2 over 3}} ight)}^2} – {9 over 4}} ight] = 2{left( {x – {2 over 3}} ight)^2} – {9 over 2})

      Ta có: ({left( {x – {2 over 3}} ight)^2} ge 0 Rightarrow 2{left( {x – {2 over 3}} ight)^2} ge 0 Rightarrow 2{left( {x – {2 over 3}} ight)^2} – {9 over 2} ge  – {9 over 2})

       ( Rightarrow Q =  – {9 over 2}) là giá trị nhỏ nhất ( Rightarrow {left( {x – {2 over 3}} ight)^2} = 0 Rightarrow x = {2 over 3})

       Vậy (Q =  – {9 over 2})  là giá trị bé nhất của đa thức (x = {2 over 3})

c.

(eqalign{  & M = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10 = left( {{y^2} + 6y + 9} ight) + left( {{x^2} – x + 1} ight)  cr  &  = {left( {y + 3} ight)^2} + left( {{x^2} – 2.{1 over 2}x + {1 over 4} + {3 over 4}} ight) = {left( {y + 3} ight)^2} + {left( {x – {1 over 2}} ight)^2} + {3 over 4} cr} )

Ta có:

(eqalign{  & {left( {y + 3} ight)^2} ge 0;{left( {x – {1 over 2}} ight)^2} ge 0  cr  &  Rightarrow {left( {y + 3} ight)^2} + {left( {x – {1 over 2}} ight)^2} ge 0 Rightarrow {left( {y + 3} ight)^2} + {left( {x – {1 over 2}} ight)^2} + {3 over 4} ge {3 over 4} cr} )

( Rightarrow M = {3 over 4})  là giá trị nhỏ nhất khi ({left( {y + 3} ight)^2} = 0)

( Rightarrow y =  – 3)  và ({left( {x – {1 over 2}} ight)^2} = 0 Rightarrow x = {1 over 2})

Vậy (M = {3 over 4}) là giá trị bé nhất tại (y =  – 3) và (x = {1 over 2})