Câu 153 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH. a. Chứng minh rằng EC = BH, EC ⊥ BH.

Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.

a. Chứng minh rằng EC = BH, EC ⊥ BH.

b. Gọi M, N theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MIN là tam giác gì ? Vì sao ?

Giải:                                                                         

a. Ta có: (widehat {BAH} = widehat {BAC} + widehat {CAH} = widehat {BAC} + {90^0})

(widehat {EAC} = widehat {BAC} + widehat {BAE} = widehat {BAC} + {90^0})

Suy ra: (widehat {BAH} = widehat {EAC})

- Xét ∆ BAH và ∆ EAC:

BA = EA (vì ABDE là hình vuông)

(widehat {BAH} = widehat {EAC}) (chứng minh trên)

AH = AC (vì ACFH là hình vuông)

Do đó: ∆ BAH = ∆ EAC (c.g.c)

⇒ BH = EC

Gọi giao điểm của EC với AB và BH lần lượt là K và O.

(widehat {AEC} = widehat {ABH}) (vì ∆ BAH = ∆ EAC) (1)

hay (widehat {AEK} = widehat {OBK})

- Trong ∆ AEK ta có: (widehat {EAK} = {90^0})

( Rightarrow widehat {AEK} + widehat {AKE} = {90^0}) (2)

(widehat {AKE} = widehat {OKB}) (đối đỉnh) (3)

Từ (1) và (2) suy ra: (widehat {OKB} + widehat {OBK} = {90^0})

- Trong ∆ BOK ta có: (widehat {BOK} + widehat {OKB} + widehat {OBK} = {180^0})

( Rightarrow widehat {BOK} = {180^0} - left( {widehat {OKB} + widehat {OBK}} ight) = {180^0} - {90^0} = {90^0})

Suy ra: EC ⊥ BH

b. Trong ∆ EBC ta có:

M là trung điểm của EB (tính chất hình vuông)

I là trung điểm của BC (gt)

nên MI là đường trung bình của tam giác EBC

⇒ MI = ({1 over 2})EC và MI // EC (tính chất đường trung bình của tam giác)

- Trong ∆ BCH ta có:

I là trung điểm của BC (gt)

N là trung điểm của CH (tính chất hình vuông)

nên NI là đường trung bình của ∆ BCH

⇒ NI = ({1 over 2})BH và NI // BH (tính chất đường trung bình của tam giác)

BH = CE (chứng minh trên)

Suy ra: MI = NI nên ∆ INM cân tại I

MI // EC (chứng minh trên)

EC ⊥ BH (chứng minh trên)

Suy ra: MI ⊥ BH

NI // BH (chứng minh trên)

Suy ra: MI ⊥ NI hay (widehat {MIN} = {90^0})

Vậy ∆ IMN vuông cân tại I.

Sachbaitap.com