Câu 15 trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ vương góc với a thì có một điểm duy nhất biến thành chính nó qua phép F.

15. Trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ vuông góc với a thì có một điểm duy nhất biến thành chính nó qua phép F.

Giải 

Trước hết, F không thể biến hai điểm phân biệt thành chính nó vì khi đó đường thẳng đi qua hai điểm đó phải biến thành chính nó, trái với giả thiết là F biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc.

Để chứng minh sự tồn tại của điểm biến thành chính nó, ta đã lấy một điểm A nào đó và gọi ({A_1} = Fleft( A ight),,{A_2} = Fleft( {{A_1}} ight)).

Nếu A trùng ({A_1}) thì A là điểm biến thành chính nó, bởi vậy ta giả sử rằng A khác ({A_1}). Khi đó ({A_2}) khác ({A_1}) và đường thẳng ({A_1}{A_2}) vuông góc với đường thẳng (A{A_1}). Đường thẳng của (A{A_2}) là đường thẳng d qua ({A_1}), vuông góc với (A{A_2}). Đường thẳng ({A_1}{A_2}) là đường thẳng d’ qua ({A_2}), vuông góc với ({A_1}{A_2}). Vậy F biến ({A_2}) thành giao điểm ({A_3}) của d và d’. Vì F là phép dời hình nên (A{A_1}{A_2}{A_3}) là hình vuông. Trung điểm I của (A{A_2}) biến thành trung điểm của ({A_1}{A_3}), tức là I biến thành chính nó qua F.

Vậy F có duy nhất điểm I biến thành chính nó.

zaidap.com