Câu 14 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a. Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0

Cho hàm số (y = left| x ight|)

a. Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0

b. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có.

c. Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm x₀ thì có đạo hàm tại x₀ ” đúng hay sai ?

Giải:

a. Ta có: (mathop {lim }limits_{x o 0} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o 0} left| x ight| = 0 = fleft( 0 ight))

Vậy f liên tục tại x = 0

b. Ta có:

(eqalign{  & mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{fleft( x ight) - fleft( 0 ight)} over x} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{left| x ight|} over x} = mathop {lim }limits_{x o 0} {x over x} = 1  cr  & mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} {{fleft( x ight) - fleft( 0 ight)} over x} = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} {{left| x ight|} over x} = mathop {lim }limits_{x o 0} {{ - x} over x} =  - 1 cr} )

Do đó không tồn tại (mathop {lim }limits_{x o 0} {{fleft( x ight) - fleft( 0 ight)} over x}) nên hàm số f không có đạo hàm tại x = 0

c. Mệnh đề sai. Thật vậy, hàm số (fleft( x ight) = left| x ight|) liên tục tại điểm 0 (theo câu a) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó (theo câu b).

soanbailop6.com