Câu 132 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là đỉnh của một hình thoi.

Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là đỉnh của một hình thoi.

Giải:                                                              

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.

Kẻ đường chéo AC.

- Trong ∆ ABC ta có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

nên EF là đường trung bình của ∆ ABC

⇒ EF // AC và EF = ({1 over 2})AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

- Trong ∆ ADC ta có:

H là trung điểm AD

G là trung điểm DC

nên HG là đường trung bình của ∆ ADC.

⇒ HG // AC và HG = ({1 over 2})AC (tính chất đường trung bình của tam giác)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

- Xét ∆ AEH và ∆ DGH:

AH = HG (gt)

(widehat {EAH} = widehat {GDH} = {90^0})

AE = DG (vì AB = CD)

Do đó: ∆ AEH = ∆ DGH (c.g.c) ⇒ HE = HG

Vậy hình bình hành EFGH là hình thoi (vì có hai cạnh kề bằng nhau)

Sachbaitap.com