Cách tính và vẽ đường mặt nước trong kênh

Phương pháp số mũ thủy lực x

Ta thấy: dhdl=fh size 12{ { { ital "dh"} over { ital "dl"} } =f left (h right )} {}

Ta xem j = const trong khi lấy tích phân và biến đổi f(f) thành một hàm số lũy thừa nào đó.

Với kênh lăng trụ:

K = wCR size 12{wC sqrt {R} } {} = K h size 12{ left (h right )} {} (2-66)

Đường biểu diễn số 1 của nó là đường liền nét. Nó có thể gần trùng với đường biểu diễn số 2 của một hàm số lũy thừa nào đó như sau :

K = D h^P = Dh^x/2 (2-67)

Nên ta có hai ẩn số x và A, ta cần thiết lập hai phương trình. Muốn thế ta lấy hai điểm trên đường số 1, sao cho:

K1=Dh1x2 size 12{K rSub { size 8{1} } = ital "Dh" rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ { {x} over {2} } } } } {} và K2=Dh2x2 size 12{K rSub { size 8{2} } = ital "Dh" rSub { size 8{2} } rSup { size 8{ { {x} over {2} } } } } {}

Lập tỉ số 2 phương trình trên, khử D sau đó lấy logarit 2 vế và giải ra ta được:

x = lgK2−lgK1lgh2−lgh1 size 12{ { {"lg"K rSub { size 8{2} } -"lg"K rSub { size 8{1} } } over {"lg"h rSub { size 8{2} } -"lg"h rSub { size 8{1} } } } } {} (2-68)

Từ công thức trên ta thấy giá trị x phụ thuộc vào tọa độ hai điểm chọn trước, nhưng với mặt cắt hoàn chỉnh thì khi ta chọn bất kỳ điểm nào trên đường 1.

Giá trị x thay đổi rất ít và trong tính toán thực tế có thể xem như không đổi.

a. Với i > 0: Ta xét K, K₀ theo hàm số lũy thừa tương ứng của h, h₀:

KK02=hh0X size 12{ left ( { {K} over {K rSub { size 8{0} } } } right ) rSup { size 8{2} } = left ( { {h} over {h rSub { size 8{0} } } } right ) rSup { size 8{X} } } {} (2-69)

Ta đặt: η=hh0 size 12{η= { {h} over {h rSub { size 8{0} } } } } {} (2-70)

Thay (2-70) vào (2-69) ta được:

KK02=ηX size 12{ left ( { {K} over {K rSub { size 8{0} } } } right ) rSup { size 8{2} } =η rSup { size 8{X} } } {} (2-71)

Lấy đạo hàm (2-70), ta được :

dh = h₀ . dη (2-72)

Thay (2-71) và (2-72) vào công thức (2-62) sắp xếp ta được:

ih0dl=dη−1−j¯dη1−ηX size 12{ { {i} over {h rSub { size 8{0} } } } ital "dl"=dη - left (1 - {overline {j}} right ) { {dη} over {1 - η rSup { size 8{X} } } } } {} (2-73)

Lấy tích phân từ mặt cắt (1-1) đến (2-2), trong đó xem j là hằng số, bằng trị số trung bình:

j¯=α.igC2¯B¯P¯ size 12{ {overline {j}} = { {α "." i} over {g} } { { {overline {C rSup { size 8{2} } }} {overline {B}} } over { {overline {P}} } } } {} (2-74)

Ta được: ih0l1−2=η2−η1−1−j¯ϕη2−ϕη1 size 12{ { {i} over {h rSub { size 8{0} } } } l rSub { size 8{1 - 2} } =η rSub { size 8{2} } - η rSub { size 8{1} } - left (1 - {overline {j}} right ) left [ϕ left (η rSub { size 8{2} } right ) - ϕ left (η rSub { size 8{1} } right ) right ]} {} (2-75)

Ở đây: ϕη=∫dη1−ηx+const size 12{ϕ left (η right )= Int { { {dη} over {1 - η rSup { size 8{x} } } } } + ital "const"} {} (2-76)

φ(η) trong các tài liệu về thuỷ lực đều có bảng tra tính gía trị theo (2-76). Vì tích phân trên không có nguyên hàm, bằng phương tính có thể giải được. Do vậy tích trên có thể dùng cáchlập trình hay phần mềm Mathcad để tính thuận tiện hơn.

Giá trị x tính theo (2-68), tuỳ theo dạng đường mực nước ở khu a; b hay c, thường với:

h₁ = h₀ nên K₁ = K₀

h₂ = h¯ size 12{ {overline {h}} } {} nên K₂ = K¯ size 12{ {overline {K}} } {}

h¯ size 12{ {overline {h}} } {} là độ sâu trung bình trong dòng không đều ta xét.

b. Với i = 0: Ta xét K, K_n theo hàm số lũy thừa tương ứng của h, h_n:

KKn2=hhnX size 12{ left ( { {K} over {K rSub { size 8{n} } } } right ) rSup { size 8{2} } = left ( { {h} over {h rSub { size 8{n} } } } right ) rSup { size 8{X} } } {} (2-77)

Ta đặt: ξ=hh0 size 12{ξ= { {h} over {h rSub { size 8{0} } } } } {} (2-78)

Thay (2-77) vào (2-76), ta được:

KKn2=ξ size 12{ left ( { {K} over {K rSub { size 8{n} } } } right ) rSup { size 8{2} } =ξ} {} (2-79)

dh = h_n . dξ (2-80)

Thay (2-78) và (2-79) vào công thức (2-64) sau khi rút gọn và lấy tích phân từ mặt cắt (1-1) đến mặt cắt (2-2), ta được:

inhnl1−2=jn¯ξ2−ξ1−ξX+1−ξXX+1 size 12{ { {i rSub { size 8{n} } } over {h rSub { size 8{n} } } } l rSub { size 8{1 - 2} } = {overline {j rSub { size 8{n} } }} left (ξ rSub { size 8{2} } - ξ rSub { size 8{1} } right ) - { {ξ rSup { size 8{X+1} } - ξ rSup { size 8{X} } } over {X+1} } } {} (2-81)

Giá trị x tính có thể lấy với h₁ = h_n và h₂ = h¯ size 12{ {overline {h}} } {}, còn giá trị jn¯ size 12{ {overline {j rSub { size 8{n} } }} } {} xác định theo công thức:

jn¯=α.ingC2¯B¯P¯ size 12{ {overline {j rSub { size 8{n} } }} = { {α "." i rSub { size 8{n} } } over {g} } { { {overline {C rSup { size 8{2} } }} {overline {B}} } over { {overline {P}} } } } {} (2-82)

Nếu lấy i_n = i_k và sắp xếp lại ta có:

ikhkl1−2=jK¯−1ξ2−ξ1−ψξ2−ψξ1 size 12{ { {i rSub { size 8{k} } } over {h rSub { size 8{k} } } } l rSub { size 8{1 - 2} } = left ( {overline {j rSub { size 8{K} } }} - 1 right ) left (ξ rSub { size 8{2} } - ξ rSub { size 8{1} } right ) - left [ψ left (ξ rSub { size 8{2} } right ) - ψ left (ξ rSub { size 8{1} } right ) right ]} {} (2-83)

Trong đó: jk¯=PkPC2¯B¯Ck2Bk size 12{ {overline {j rSub { size 8{k} } }} = { {P rSub { size 8{k} } } over {P} } { { {overline {C rSup { size 8{2} } }} {overline {B}} } over {C rSub { size 8{k} } rSup { size 8{2} } B rSub { size 8{k} } } } } {} (2-84)

Tính sơ bộ có thể lấy jk¯ size 12{ {overline {j rSub { size 8{k} } }} } {}=1

Vậy ta được:

ikhkl1−2=−ψξ2−ψξ1 size 12{ { {i rSub { size 8{k} } } over {h rSub { size 8{k} } } } l rSub { size 8{1 - 2} } = - left [ψ left (ξ rSub { size 8{2} } right ) - ψ left (ξ rSub { size 8{1} } right ) right ]} {} (2-85)

trong đó: ψξ=ξx+1x+1−ξ+const size 12{ψ left (ξ right )= { {ξ rSup { size 8{x+1} } } over {x+1} } - ξ+ ital "const"} {} (2-86)

Giá trị của (2-86) chúng ta có thể tính được trực tiếpkhông cầntra bảng, không như tích phân (2-76) không có nguyên hàm

c. Với i < 0: Ta xét K, K₀^’ theo hàm số lũy thừa tương ứng của h, h₀^’

KK0'2=hh0'X size 12{ left ( { {K} over {K rSub { size 8{0} } rSup { size 8{'} } } } right ) rSup { size 8{2} } = left ( { {h} over {h rSub { size 8{0} } rSup { size 8{'} } } } right ) rSup { size 8{X} } } {} (2-87)

Ta đặt: ς=hh0' size 12{ς= { {h} over {h rSub { size 8{0} } rSup { size 8{'} } } } } {} (2-88)

Thay (2-88) vào (2-87) nên ta được:

KK2=ζX size 12{ left ( { {K} over {K} } right ) rSup { size 8{2} } =ζ rSup { size 8{X} } } {} (2-89)

lấy đạo hàm(2-88) ta được :

dh = h_n . dζ (2-90)

Thay (2-89) và (2-90) vào công thức (2-65) biến đổi và lấy tích phân ta được:

i'h0'L1−2=−ζ2−ζ1+1+j'¯Φζ2−Φζ1 size 12{ { {i rSup { size 8{'} } } over {h rSub { size 8{0} } rSup { size 8{'} } } } L rSub { size 8{1 - 2} } = - left (ζ rSub { size 8{2} } - ζ rSub { size 8{1} } right )+ left (1+ {overline {j rSup { size 8{'} } }} right ) left [Φ left (ζ rSub { size 8{2} } right ) - Φ left (ζ rSub { size 8{1} } right ) right ]} {} (2-91)

trong đó: j'¯=α.i'gC2¯B¯P¯ size 12{ {overline {j'}} = { {α "." i'} over {g} } { { {overline {C rSup { size 8{2} } }} {overline {B}} } over { {overline {P}} } } } {} (2-92)

Fz=∫dzzX+1+C size 12{F left (z right )= Int { { {dz} over {z rSup { size 8{X} } +1} } } +C} {}. (2-93)

Giá trị x tính với h₁ =h₀ ; h₂= h¯ size 12{ {overline {h}} } {}

Giá trị của tích phân theo công thức (2-93) như đã nói ở trên trường hợp không có nguyên, ta dùng phương tính hay dùng phần mềm thích hợp sẽ giải được.

Phương pháp số mũ thủy lực z

Cũng như phương pháp số mũ thủy lực x, phương pháp số mũ z biến đổi các

phương trình (2-63), (2-64) và (2-65) về dạng đơn giản hơn. Ở đây dùng phương pháp đổi biến số, từ h sang (. ( được xác định từ quan hệ:

KK02=τZ size 12{ left ( { {K} over {K rSub { size 8{0} } } } right ) rSup { size 8{2} } =τ rSup { size 8{Z} } } {} (2-94)

hay τ=KK02Z size 12{τ= left ( { {K} over {K rSub { size 8{0} } } } right ) rSup { size 8{ { {2} over {Z} } } } } {} (2-95)

z là một hằng số tuỳ ý chọn, thường lấy từ 2 đến 5.5 ( N. N. Pavơlốpski z=2; I. I. Agơrốtkkin lấy z=5.5; M.Đ. Tréctôuxốp lấy z=4 v.v...)

Còn quan hệ giữa τ và h là:

dh=a.dτ (2-96)

ở đây a là hệ số, được xác định một cách gần đúng bằng tỷ sốĠ:

a= ΔhΔτ size 12{ { {Δh} over {Δτ} } } {}= h2−h1τ2−τ1 size 12{ { {h rSub { size 8{2} } - h rSub { size 8{1} } } over {τ rSub { size 8{2} } - τ rSub { size 8{1} } } } } {} (2-97)

trong đó:

• h₁ , h₂ là hai độ sâu trong đoạn đang xét;
• τ₁, τ₂ là hai trị số tương ứng với độ sâu h₂, h₁.

1. Với i>0, thay (2-95) và (2-96) vào (2-62), sau khi sắp xếp lại và tích phân ta được:

iaL1−2=τ2−τ1−1−j¯ϕτ2−ϕτ1 size 12{ { {i} over {a} } L rSub { size 8{1 - 2} } =τ rSub { size 8{2} } - τ rSub { size 8{1} } - left (1 - {overline {j}} right ) left [ϕ left (τ rSub { size 8{2} } right ) - ϕ left (τ rSub { size 8{1} } right ) right ]} {} (2-98)

Ở đây: ϕτ=∫dη1−τz+const size 12{ϕ left (τ right )= Int { { {dη} over {1 - τ rSup { size 8{z} } } } } + ital "const"} {} (2-99)

φ(τ ) cũng không có nguyên từ khi ta chọn z=2.

1. Với i = 0, thay

τn=KKn2Z size 12{τ rSub { size 8{n} } = left ( { {K} over {K rSub { size 8{n} } } } right ) rSup { size 8{ { {2} over {Z} } } } } {} (2-100)

dh=a_n.dτ_n (2-101)

vào công thức (2-64) sau khi rút gọn và lấy tích phân ta được:

inanL1−2=jn¯τn2−τn1−τn2X+1−τn1X+1X+1 size 12{ { {i rSub { size 8{n} } } over {a rSub { size 8{n} } } } L rSub { size 8{1 - 2} } = {overline {j rSub { size 8{n} } }} left (τ rSub { size 8{n2} } - τ rSub { size 8{n1} } right ) - { {τ rSub { size 8{n2} rSup { size 8{X+1} } } - τ rSub { size 8{n1} rSup { size 8{X+1} } } } over {X+1} } } {} (2-102)

ở đây: an=h2−h1τn2−τn1 size 12{a rSub { size 8{n} } = { {h rSub { size 8{2} } - h rSub { size 8{1} } } over {τ rSub { size 8{n2} } - τ rSub { size 8{n1} } } } } {} (2-103)

Còn jn¯ size 12{ {overline {j rSub { size 8{n} } }} } {} lấy theo công thức (2-82).

Nếu lấy i_n = i_k , thì một cách gần đúng cho j_k=1 công thức (2-102) sắp xếp lại ta có:

ikakL1−2=−ψτ2−ψτ1 size 12{ { {i rSub { size 8{k} } } over {a rSub { size 8{k} } } } L rSub { size 8{1 - 2} } = - left [ψ left (τ rSub { size 8{2} } right ) - ψ left (τ rSub { size 8{1} } right ) right ]} {} (2-104)

ψτ=τz+1z+1−ξ+const size 12{ψ left (τ right )= { {τ rSup { size 8{z+1} } } over {z+1} } - ξ+ ital "const"} {} (2-105)

Giá trị ψ(τ ) ta có thể tính trực tiếp được.

c. Với i < 0: thay

τ'=KK0'2Z size 12{τ'= left ( { {K} over {K rSub { size 8{0} } rSup { size 8{'} } } } right ) rSup { size 8{ { {2} over {Z} } } } } {} (2-106)

và dh = a’.τ’ (2-107)

vào công thức (2-65) biến đổi và lấy tích phân ta được:

i'a'L1−2=−τ'2−τ'1+1+j'¯Φτ'2−Φτ'1 size 12{ { {i rSup { size 8{'} } } over {a'} } L rSub { size 8{1 - 2} } = - left (τ' rSub { size 8{2} } - τ' rSub { size 8{1} } right )+ left (1+ {overline {j rSup { size 8{'} } }} right ) left [Φ left (τ' rSub { size 8{2} } right ) - Φ left (τ' rSub { size 8{1} } right ) right ]} {} (2-108)

ở đây: a'=h2−h1τ2'−τ1' size 12{a'= { {h rSub { size 8{2} } - h rSub { size 8{1} } } over {τ rSub { size 8{2} } rSup { size 8{'} } - τ rSub { size 8{1} } rSup { size 8{'} } } } } {} (2-109)

j'¯ size 12{ {overline {j'}} } {} tính theo công thức (2-92)

Φτ'=∫dτ'τ'z+1+const size 12{Φ left (τ' right )= Int { { {dτ'} over {τ' rSup { size 8{z} } +1} } } + ital "const"} {}. (2-110) giá trị Ф(τ’) không có nguyên hàm, ta có thể chọn z=2 để tính.