Các ma trận mạng và phạm vi ứng dụng phần II

Phương trình đặc tính của mạng điện.

Mạng điện là sự ghép nối tập hợp các nhánh có mối liên hệ với nhau. Trong cấu trúc nút qui chiếu, thành phần của mạng điện có mối liên hệ với nhau được diễn tả bởi n-1 phương trình nút độc lập, với n là số nút. Trong kí hiệu ma trận các thành phần của phương trình đối với tổng trở là:

Hay đối với tổng dẫn là:

E→Nuït size 12{ { vec {E}} rSub { size 8{ ital "Nuït"} } } {}: Là vectơ điện áp nút đo được với nút qui chiếu đã chọn.

I→Nuït size 12{ { vec {I}} rSub { size 8{ ital "Nuït"} } } {}: Là vectơ dòng điện nút đưa vào.

Z_Nút: Là ma trận tổng trở nút có các thành phần của ma trận là tổng trở truyền hở mạch giữa các điểm.

Y_Nút: Là ma trận tổng dẫn nút có các thành phần của ma trận là tổng dẫn truyền ngắn mạch giữa các điểm.

Trong cấu trúc nhánh cây tham khảo thành phần của mạng điện có mối liên hệ với nhau được thể hiện bởi b phương trình nhánh cây độc lập. Với b là số nhánh cây. Trong kí hiệu ma trận các thành phần của phương trình đối với tổng trở là:

Hay đối với tổng dẫn là:

Với: E→nhaïnhcáy size 12{ { vec {E}} rSub { size 8{ ital "nhaïnh"`` ital "cáy"} } } {}: Là vectơ điện áp qua nhánh cây

I→nhaïnhcáy size 12{ { vec {I}} rSub { size 8{ ital "nhaïnh"`` ital "cáy"} } } {}: Là vectơ dòng điện đi qua nhánh cây

Z_{nhánh cây} : Là ma trận tổng trở của nhánh cây có các thành phần của ma trận là tổng trở truyền hở mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện.

Y_{nhánh cây} : Là ma trận tổng dẫn của nhánh cây có các thành phần của ma trận là tổng dẫn truyền ngắn mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện.

Trong cấu trúc vòng tham khảo các thành phần của mạng điện có mối liên hệ với nhau được thể hiện bởi l phương trình vòng độc lập. Với l là số nhánh bù cây hay số vòng cơ bản. Phương trình đặc tính đối với dạng tổng trở là:

Hay đối với dạng tổng dẫn là:

Trong đó:: Là vectơ điện áp của vòng cơ bản

: Là vectơ dòng điện của vòng cơ bản

Z_Vòng: Là ma trận tổng trở vòng

Y_Vòng: Là ma trận tổng dẫn vòng.

Ma trận tổng trở nút và ma trận tổng dẫn nút.

Ma trận tổng dẫn nút Y_Nút có thể thu được bằng cách dùng ma trận nút A liên kết với các biến và tham số của mạng điện gốc với lượng nút của mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc như sau:

Nhân hai vế với A^t là ma trận chuyển vị của ma trận nút ta thu được:

Từ ma trận A cho thấy sự tác động của các nhánh với các nút, Ati→ size 12{A rSup { size 8{t} } { vec {i}}} {} là vectơ ứng với mỗi nhánh nó là tổng đại số của dòng chạy qua các nhánh trong mạng tại mỗi nút khác nhau. Theo luật Kirchhoff về dòng điện (định luật Kirchhoff I) tổng đại số của dòng điện tại một nút là bằng 0 ta có:

At.i→ size 12{A rSup { size 8{t} } "." { vec {i}}} {}= 0 (4.9)

Tương tự Atj→ size 12{A rSup { size 8{t} } { vec {j}}} {}là tổng đại số của nguồn dòng tại mỗi nút bằng vectơ dòng điện nút. Vì Vậy:

Thay thế phương trình (4.9) và (4.10) vào trong phương trình (4.8) ta thu được:

Công suất trong mạng điện là và tổng của công suất trong mạng điện nguồn là. Công suất trong mạng điện nguồn và mạng điện kết nối phải bằng nhau, công suất phải không đổi khi có sự thay đổi của các biến.

Kết hợp với phương trình chuyển vị của (4.10)

Ma trận A là ma trận thực nên:

A^* = A

Do đó:

Thay thế phương trình (4.13) vào trong (4.12)

Phương trình trên đúng cho tất cả các giá trị của j→, size 12{ { vec {j}},} {} đơn giản nó trở thành:

Thay thế phương trình (4.14) vào trong (4.11)

Từ phương trình đặc tính của mạng điện

Từ phương trình (4.15) và (4.16) ta có:

Ma trận nút A là ma trận đơn giản vì vậy A^t [y] A là đơn giản với phép biến đổi của [y]

Ma trận tổng trở nút có thể thu được từ

Ma trận tổng trở nhánh cây và tổng dẫn nhánh cây.

Ma trận tổng dẫn nhánh cây Y_{nhánh cây} có thể thu được bằng cách dùng ma trận vết cắt cơ bản B liên kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số nhánh cây của mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc đối với tổng dẫn khi nhân cả hai vế với B^t thu được.

Từ ma trận B cho thấy sự liên hệ của các nhánh với các vết cắt cơ bản, Bt.i→ size 12{B rSup { size 8{t} } "." { vec {i}}} {}là vectơ ứng với mỗi nhánh nó là tổng đại số của dòng chạy qua các nhánh trong mạng tại mỗi vết cắt cơ bản khác nhau.

Các nhánh của vết cắt cơ bản chia mạng điện ra thành hai mạng con liên kết. Vì vậy thành phần của vectơ là tổng đại số của dòng điện đi vào mạng con và theo định luật Kirchhoff về dòng điện (định luật Kirchhoff I) ta có:

Bt.i→ size 12{B rSup { size 8{t} } "." { vec {i}}} {}= 0 (4.18)

Tương tự là vectơ đối với mỗi nhánh là tổng đại số của nguồn dòng trong các nhánh với các vết cắt cơ bản và tổng nguồn dòng trong mạch mắc song song với nhánh cây là:

Thay thế phương trình (4.18) và (4.19) vào trong (4.17) thu được:

Công suất trong mạng điện là và từ công suất không thay đổi ta có:

Thu được (I→nhaïnhcáy)t size 12{ ( { vec {I}} rSub { size 8{ ital "nhaïnh"`` ital "cáy"} } rSup { size 8{*} } ) rSup { size 8{t} } } {}từ phương trình (4.19) và thay vào phương trình trên ta có:

Từ ma trận B là ma trận thực, ta có:

B^* = B do đó

Phương trình trên đúng với mọi giá trị của j→, size 12{ { vec {j}},} {} đơn giản nó trở thành như sau:

Thay thế phương trình (4.21) vào trong (4.20) thu được:

Mối liên hệ giữa dòng điện chạy qua nhánh cây và điện áp trên nhánh cây là:

Từ phương trình (4.22) và (4.23) ta có:

Ma trận vết cắt cơ bản B là ma trận đơn giản vì vậy Bty.B size 12{B rSup { size 8{t} } left [y right ] "." B} {}là đơn giản với sự biến đổi của [y]

Ma trận nhánh cây có thể thu được từ

Ma trận tổng trở vòng và ma trận tổng dẫn vòng.

Ma trận tổng trở vòng Z_Vòng có thể thu được bằng cách dùng ma trận vòng cơ bản C liên kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số vòng của mạng điện kết nối.

Phương trình đặc tính của mạng điện gốc là:

Nhân hai vế phương trình với C^t ta thu được:

Từ ma trận C cho thấy sự tác động của nhánh tới vòng cơ bản, Ct.v→ size 12{C rSup { size 8{t} } "." { vec {v}}} {} là tổng đại số của điện áp vòng trong mỗi vòng lặp cơ bản. Nó phù hợp với định luật Kirchhoff về điện áp (định luật Kirchhoff II) là tổng đại số của điện áp vòng trong một vòng cơ bản là bằng 0.

Nên: Ct.v→ size 12{C rSup { size 8{t} } "." { vec {v}}} {}= 0 (4.25)

Tương tự Ct.e→ size 12{C rSup { size 8{t} } "." { vec {e}}} {} là tổng đại số của nguồn điện áp vòng trong mỗi vòng cơ bản.

Vì vậy:

Từ công suất không đổi ta có:

Phương trình trên đúng với mọi giá trị e→ size 12{ { vec {e}}} {} nên ta đơn giản nó trở thành như sau:

Nên:

Từ ma trận thực C, ta có:

C^* = C và (4.27)

Thay thế phương trình (4.25), (4.26) và (4.27) vào trong (4.24) ta thu được:

(4.28)

Phương trình đặc tính của mạng điện trong cấu trúc vòng tham khảo là:

(4.29)

Từ phương trình (4.28) và (4.29) ta có:

Ma trận C là ma trận đơn giản, nên CtzC size 12{C rSup { size 8{t} } left [z right ]``C} {} là đơn giản với sự biến đổi của [z]

Ma trận tổng dẫn vòng có thể thu được từ

Ma trận mạng thu được từ phép biến đổi đơn giản được tổng kết trong bảng 4.1. Quan hệ dòng và áp giữa mạng điện gốc và mạng điện kết nối được tổng kết trong bảng 4.2.

Ma trận tổng trở nhánh và tổng dẫn nhánh

Ma trận tổng dẫn nhánh Y_{nhánh cây} cũng có thể thu được bằng cách dùng ma trận vết cắt tăng thêm Bˆ size 12{ { hat {B}}} {} liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc với mạng điện liên thông thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự kết nối với một nhánh cây giả mắc nối tiếp với mỗi nhánh bù cây của mạng điện gốc. Để giữ nguyên các đặc tính trong mạng liên thông tổng dẫn của mỗi nhánh cây giả bằng 0 và nguồn dòng đúng bằng dòng qua nhánh bù cây liên kết, được biểu diễn trên hình 4.8a. Hiệu điện thế đi qua nhánh cây giả là bằng 0. Vết cắt ràng buộc được xem như vết cắt giữa nhánh bù cây liên thông với nhánh cây giả, được thể hiện trên hình 4.8b.

Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc nhánh cây tham khảo như sau:

Ma trận Y_{nhánh cây} sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng dẫn của mạng điện thêm vào.

Phương trình đặc tính của mạng điện gốc

Nhân hai vế với Bˆt size 12{ { hat {B}} rSup { size 8{t} } } {} thu được:

(4.30)

Phương trình (4.30) có thể viết lại với hình thức ma trận phân chia như sau:

Từ mỗi thành phần của vectơ i→t size 12{ { vec {i}} rSub { size 8{t} } } {} là bằng nguồn dòng của nhánh cây giả, i→t+j→t size 12{ { vec {i}} rSub { size 8{t} } + { vec {j}} rSub { size 8{t} } } {} là vectơ trong đó mỗi thành phần của nó bằng tổng đại số nguồn dòng của nhánh cây giả với nhánh bù cây liên kết. Vì vậy:

Điện áp qua các nhánh của mạng điện gốc theo phương trình (4.21) là:

Tuy nhiên:

Nên (4.33)

Thế phương trình (4.33) vào trong phương trình (4.32) ta được.

(4.34)

Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là

(4.35)

Từ phương trình (4.34) và (4.35) ta có ma trận tổng dẫn của mạng điện thêm vào là:

(4.36)

Phương trình (4.36) có thể viết theo hình thức phân chia như sau:

Với: [y_bb]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh cây

[y_bl] = [y_lb]^t: Là ma trận tổng dẫn gốc, mỗi thành phần là tổng dẫn tương hỗ giữa nhánh cây với nhánh bù cây.

[y_ll]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh bù cây.

Phương trình (4.37) viết lại như sau

(4.38)

Từ

Hay

Từ phương trình (4.38) và (4.39) ta có:

Y_{nhánh cây} = Y₁

Ma trận tổng trở nhánh cây có thể thu được từ

Z_{nhánh cây} = Y₁^-1

Ma trận tổng trở vòng Z_Vòng cũng có thể thu được bằng cách dùng ma trận tổng trở vòng thêm vào Cˆ size 12{ { hat {C}}} {} liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc liên hệ với mạng điện thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự nối kết với một nhánh bù cây giả mắc song song với mỗi nhánh cây của mạng điện gốc. Giữ nguyên trật tự các thành phần liên kết trong mạng, tổng trở của mỗi nhánh bù cây giả bằng 0 và nguồn áp bằng nhưng ngược hướng với áp qua nhánh cây liên kết trình bày trên hình 4.9.a. Dòng qua nhánh bù cây giả bằng 0. Vòng hở có thể xem như vòng liên thông giữa nhánh cây và nhánh bù cây giả tưởng cho trên hình 4.9b.

Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc vòng tham khảo như sau:

Ma trận Z_vòng sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng trở của mạng điện thêm vào.

Phương trình đặc tính cho mạng điện gốc là:

Nhân hai vế với Cˆt size 12{ { hat {C}} rSup { size 8{t} } } {} ta thu được:

(4.40)

Phương trình (4.40) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau:

Trong đó: Vectơ điện áp gốc v→ size 12{ { vec {v}}} {} và e→ size 12{ { vec {e}}} {} được phân chia thành vectơ điện áp v→b size 12{ { vec {v}} rSub { size 8{b} } } {}và e→b size 12{ { vec {e}} rSub { size 8{b} } } {} liên kết với nhánh cây của mạng và vectơ điện áp v→t size 12{ { vec {v}} rSub { size 8{t} } } {} và e→t size 12{ { vec {e}} rSub { size 8{t} } } {} liên kết với nhánh bù cây. Vế trái của phương trình (4.41) là.

Khi và

Tuy nhiên.

Vế trái của phương trình (4.41) trở thành

Các thành phần của v→b size 12{ { vec {v}} rSub { size 8{b} } } {} là bằng nguồn áp của nhánh bù cây giả tưởng, v→b+e→b size 12{ { vec {v}} rSub { size 8{b} } + { vec {e}} rSub { size 8{b} } } {} là vectơ trong các nhánh, mỗi thành phần là bằng tổng đại số nguồn áp trong vòng hở. Vì vậy.

Dòng điện đi qua các nhánh của mạng điện gốc từ phương trình (4.27) là

Tuy nhiên:

Thì (4.44)

Thay thế phương trình (4.44) vào trong phương trình (4.43)

(4.45)

Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là:

(4.46)

Từ phương trình (4.45) và (4.46) ta có ma trận tổng trở của mạng điện thêm vào là:

(4.47)

Phương trình (4.47) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau:

Với: [z_bb]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh cây

[z_bl] = [z_lb]^t: Là ma trận tổng trở gốc mỗi thành phần là tổng trở tương hỗ giữa nhánh cây và nhánh bù cây

[z_ll]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh bù cây

Phương trình (4.48) viết lại như sau:

(4.49)

Từ

Hay

Thì

(4.50)

Từ phương trình (4.49) và (4.50) ta có

Z_vòng = Z₄

Ma trận tổng dẫn vòng có thể thu được từ

Z_vòng = Z₄^-1

Ma trận tổng dẫn vòng thu được từ ma trận tổng dẫn mạng thêm vào.

Ma trận tổng dẫn vòng Y_Vòng có thể thu được từ ma trận tổng dẫn thêm vào Yˆnhaïnhcáy size 12{ { hat {Y}} rSub { size 8{ ital "nhaïnh"`` ital "cáy"} } } {}. Từ phương trình (4.36) và (4.47).

(4.51)

Hình thức phân chia là:

Dòng điện đi qua các nhánh của mạng gốc từ phương trình (4.27) là:

Nhân cả hai vế với B^t ta có:

(4.53)

Tuy nhiên, từ phương trình (4.18) vế trái của phương trình (4.53) là bằng 0. Vì vậy, phương trình (4.53) có thể viết lại như sau:

Suy ra:

(4.54)

Thay thế phương trình (4.54) vào trong phương trình (4.52)

(4.55)

Một cách tương tự ta có thể biểu diễn như sau:

(4.56)

Thay thế phương trình (4.55) vào trong (4.51),ta được:

Từ

[z].[y] = U

Nên

Vì vậy theo phương trình (4.56) ta có

(4.57)

Phương trình (4.57) dưới hình thức phân chia như sau:

Nó biểu diễn:

Z₁ .Y₁ + Z₂ .Y₃ = U_b (4.58)

Z₁ .Y₂ + Z₂ .Y₄ = 0

Z₃ .Y₁ + Z₄ .Y₃ = 0 (4.59)

Z₃ .Y₂ + Z₄ .Y₄ = U_t (4.60)

Rút Z₃ từ phương trình (4.59)

Z₃ = -Z₄ .Y₃ .Y₁^-1

Thay thế vào trong phương trình (4.60)

-Z₄ .Y₃ .Y₁^-1 .Y₂ + Z₄ .Y₄ = U_t

Hay

Z₄(Y₄ - Y₃ .Y₁^-1 .Y₂) = U_t

Từ

Z₄ .Y_Vòng = U_t

Ta có: Y_Vòng = Y₄ - Y₃ .Y₁^-1 .Y₂

Ma trận tổng trở nhánh cây Z_{nhánh cây} có thể thu được từ ma trận tổng trở thêm vào ZˆVoìng size 12{ { hat {Z}} rSub { size 8{ ital "Voìng"} } } {}. Kết hợp phương trình (4.58) và (4.59) ta có:

(Z₁- Z₂ .Z₄^-1 .Z₃) Y₁ = U_b

Từ

Z_{nhánh cây} .Y₁ = U_b

Ta có

Z_{nhánh cây} = Z₁ - Z₂ .Z₄^-1 .Z₃

Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nhánh cây từ ma trận tổng dẫn và tổng trở nút.

Sử dụng ma trận hướng đường - nhánh cây K, ma trận tổng dẫn nhánh cây Y_{nhánh cây} có thể thu được từ ma trận tổng dẫn nút Y_Nút. Từ phương trình (4.3)

Ta có: A_b .K^t =U_b

Và từ phương trình (4.5) ta có:

B₁ = A₁ .K^t

Nhân thêm với K^t vào sau A ta có:

Đảo phương trình này ta được:

K .A^t = B^t

Nhân phương trình này với [y].A.K^t ta có:

K.A^t [y].A.K^t = B^t [y].A.K^t

Hay

K.(A^t [y].A).K^t = B^t [y].B (4.63)

Từ các phép biến đổi đơn giản ta có.

Y_{nhánh cây} = K.Y_Nút .K^t (4.64)

Ma trận tổng trở nhánh cây là:

Z_{nhánh cây} = Y^-1_{nhánh cây} = (k^t)^-1.Y_Nút^-1.K^-1 (4.65)

Từ phương trình (4.4)

K^t = A_b^-1 (4.66)

Thế phương trình (4.66) vào (4.65) ta có:

Z_{nhánh cây} = A_b.Z_Nút .A_b^t

Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nút từ ma trận tổng dẫn và tổng trở nhánh cây.

Phương trình (4.64) được nhân thêm K^-1 vào phía trước và (K^t)^-1 vào phía sau ta có.

K^-1.Y_{nhánh cây} (K^t)^-1 = Y_Nút (4.67)

Thế phương trình (4.66) vào (4.67):

Y_Nút = A_b^t .Y_{nhánh cây}.A_b

Vì

Z_Nút = - Y_Nút^-1

Nên:

Z_Nút = (A_b^t.Y_{nhánh cây}.A_b)^-1

Hay

Z_­Nút = K^t .Z_{nhánh cây} .K

Các phép biến đổi phức tạp có được các ma trận mạng được trình bày trong bảng 4.3.