các lọc thực tế
Bây giờ ta trình bày những mạch thực tế, xấp xỉ với các lọc dãy thông và hạ thông lý tưởng. Giả sử rằng H(f) tiến đến hàm hệ thống của một lọc lý tưởng - Một sự thay đổi nhỏ của H(f) có thể đưa đến một sự thay đổi tương đối lớn của H(t). Ta ...
Bây giờ ta trình bày những mạch thực tế, xấp xỉ với các lọc dãy thông và hạ thông lý tưởng. Giả sử rằng H(f) tiến đến hàm hệ thống của một lọc lý tưởng - Một sự thay đổi nhỏ của H(f) có thể đưa đến một sự thay đổi tương đối lớn của H(t). Ta có thể khảo sát những hậu quả của sự thay đổi từ tính chất biên độ không đổi hoặc từ tính chất tuyến tính của pha của hàm hệ thống của lọc lý tưởng.
Lọc hạ thông:
Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc hạ thông là mạch chỉ chứa một thành phần tích trữ năng lượng. Thí dụ mạch RC như Hình 3.13 . Điều này đúng, vì khi tần số tăng, tụ xem như bị nối tắt.
Hình 3.13: Lọc hạ thông RC
Hàm chuyển:
(3.27)
Suất và pha:
Nếu đặt RC =1/2pi, suất của hàm chuyển giảm đến 1/căn(2) tại tần số 1 Hz. Ta gọi đó là 1/căn (2) tần số cắt 3 db của lọc.
Hình 3. 14 chỉ suất và pha của mạch RC, so sánh với đường cong độ lợi của một lọc hạ thông lý tưởng có tần số cắt 1Hz.
Hình 3.14: Các đặc tuyến của lọc RC
Hai đáp ứng này vẽ ở Hình 3.15. Ở đây, ta đã chọn tùy ý thời trễ của mạch hạ thông lý tưởng là 10 sec để hình vẽ dễ phân biệt.
Hình 3.15: So sánh các đáp ứng xung lực.
Bây giờ hãy xem sóng vuông vào hai mạch lọc. Ta dùng một sóng vuông có tần số cơ bản là 1/4Hz (bằng cách dùng số hạng đầu tiên khác zero của chuỗi Fourier), hình 3.16a.
Lọc hạ thông lý tưởng với tần số cắt 1Hz chỉ cho qua hai số hạng đầu tiên khác Zero (đó là, tần số 1/4Hz và 3/4Hz). Trong khi đó, mạch RC (với sự giảm 3dB ở 1 Hz)làm méo đáng kể các thành phần này (Hình 3.16b). Không chỉ thế, nó còn thu nhận năng lượng tín hiệu tại tần số cắt.
Hình 3.16: So sánh đáp ứng của sóng vuông với 2 lọc.
Có một vài loại mạch xấp xỉ với lọc hạ thông lý tưởng. Mỗi loại biểu lộ những tính chất riêng.
lọc Butteworts làm mất sóng dư trong dãy tần số đi qua và làm giảm các tần số không mong muốn ngoài dãy này. Nó được xem là loại lọc làm phẳng tối đa.
Lọc Chebyshev giảm các tần số không mong muốn hiệu quả hơn lọc Butteworts, nhưng làm phẳng sóng dư kém hơn.
Các lọc cổ điển quan trọng khác gồm lọc Bessel, Papoulis, Gauss.
Ta chú ý đến lọc Butteworts:
Biên độ của lọc hạ thông lý tưởng có thể tính xấp xỉ bởi hàm:
(3.30)
Hàm này được vẽ, với vài trị giá của n, như hình 3.17. Ta chỉ vẽ nữa dương của trục f, vì hàm chẳn. Chọn fm = 1/2pi cho hình vẽ. (Khi thiết kế có thể chọn bất kỳ tần số cắt nào). Nhớ là khi n chọn lớn, đặc tuyến Butteworts sẽ tiến đến đặc tuyến của lọc hạ thông lý tưởng.
Nếu h(t) thực (Vì là hệ thống vật lý ), phần thực của H(f) chẳn, trong khi phần ảo lẽ. Vậy :
H(f) = H * (-f ) (3.31)
và H (f)2= H(f)H*(f) (3.32)
Từ đó, kết hợp với phương trình (3.30), đủ để thiết kế các lọc Butteworts.
Hình 3.17: Hàm độ lợi Butteworts
Tương đương. Thiết kế một lọc Butteworts cấp 3 (n = 3) với tần số cắt fm = 1/2pi
Giải:
Từ phương trình (3.30) ta có:
Đổi nó về biến đổi laplace bằng cách đặt s = j2pif. Quan sát vị trí tương đối của các lực và zero của hàm:
Các lực của H(s)2 là 6 nghiệm đơn vị. Chúng cách điều nhau quanh vòng tròn đơn vị. Ba cực kết hợp với H(S) ba nữa mặt phẳng trái. Ba cực kia với H(-S). Vậy H(S) được tính từ các lực của nó:
(3.33)
Hình 3.18: 6 nghiệm
Nếu v (t) là đáp ứng và i(t) là nguồn, hàm hệ thống của phương trình (3.33) tương ứng với mạch của hình hình 3.19a.
(b)
Hình 3.19: Lọc Butteworts cấp 3
Những mạch lọc cấp cao hơn sẽ được làm đầy đủ bằng cách dùng thêm mắt lọc. Linh kiện thêm vào là cuộn cảm nối tiếp, tụ song song.
Lọc dãy thông
Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc dãy thông lý tưởng là mạch chứa hai thành phần tích trữ năng lượng.
Tương đương như mạch RLC vẽ ở hình 3.20:
Hình 3.20: Lọc dãy thông RLC
Nếu output lấy ngay qua LC đấu song song, thì mạch trên xấp xỉ với một lọc dãy thông. Điều này đúng, vì khi tần số tiến đến zero, cuộn cảm xem như bị nối tắt. Và khi tần số tiến đến ∞, tụ xem như bị nối tắt. Như vậy đáp ứng của mạch tiến đến 0 ở cả hai đầu và cực đại ở giữa.
(3.34)
Suất:
Suất cực đại tại
Điều này được xem như là tần số cộng hưởnglý tưởng của lọc.
Hình 3.21 chỉ đặc tính của mạch RLC. Ở đó, ta chọn R= L= C= 1.
Hình 3.21: Các đặc tính của lọc RLC
Đáp ứng xung lực của mạch RLC được cho bởi biến đổi ngược F - 1
h
Nó được so sánh với đáp ứng xung lực của lọc dãy thông lý tưởng (phương trình (3.18))
Hình 3.22 : So sánh những đáp ứng xung lực.
Hình 3.22 cho thấy đáp ứng xung lực của mạch RLC và của mạch dãy thông lý tưởng. Ta chọn fH = 0,1Hz và fL = 0,25Hz là các điểm 3db nhớ là hệ số Q của mạch RLC thì rất thấp vì tỉ số của độ rộng kênh và tần số giữa gần bằng 1.
