Các định lý trung tâm của lý thuyết xấp xỉ

Pf − L n ( f ) P p Cω 2 ( f , n − 1 ) p . size 12{Pf - L rSub { size 8{n} } ( f ) P rSub { size 8{p} } Cω rSub { size 8{2} } ( f,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } "." } {}

Do đó

En(f)pCω2(f,n−1)p. size 12{E rSub { size 8{n} } ( f ) rSub { size 8{p} } Cω rSub { size 8{2} } ( f,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } "." } {} (4.2)

Bây giờ ta xét nhân Jackson Kn(t) size 12{K rSub { size 8{n} } ( t ) } {} cho bởi

Rõ ràng các nhân Jackson tổng quát là các đa thức lượng giác bậc n size 12{n} {}, không âm, chẵn. Ta ký hiệu An©Bn,n→∞, size 12{A rSub { size 8{n} } ©B rSub { size 8{n} } ,n rightarrow infinity ,} {} nếu tồn tại các hằng số C size 12{C} {}, C' size 12{ { {C}} sup { ' }} {} và n0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} sao cho

CB n A n C ' B n , n ≥ n 0 . size 12{ ital "CB" rSub { size 8{n} } A rSub { size 8{n} } { {C}} sup { ' }B rSub { size 8{n} } ,~n >= n rSub { size 8{0} } "." } {}

Bổ đề 1.1 Với r =1,2, . . . size 12{r"=1,2," "." "." "." } {} , ta có

(i) λn,r©n−2r+1,n→∞. size 12{λ rSub { size 8{n,r} } ©n rSup { size 8{ - 2r+1} } ,n rightarrow infinity "." } {}

Định lý 1.2 (Jackson)

Tồn tại hằng số C size 12{C} {} sao cho

Pf−Jn(f)PpCω2(f,n−1)pCω(f,n−1)p. size 12{Pf - J rSub { size 8{n} } ( f ) P rSub { size 8{p} } Cω rSub { size 8{2} } ( f,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } Cω ( f,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } "." } {} (4.6)

Pf−Jn(f)PpCω2(f,n−1)pCω(f,n−1)p. size 12{Pf - J rSub { size 8{n} } ( f ) P rSub { size 8{p} } Cω rSub { size 8{2} } ( f,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } Cω ( f,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } "." } {} (4.6)

Ta sẽ chứng minh Sn(f) size 12{S rSub { size 8{n} } ( f ) } {} là đa thức lượng giác bậc n size 12{n} {}. Để làm điều này ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1.3 Cho hàm g ∈ L 1 ( R ) size 12{g in L rSub { size 8{1} } ( R ) } {} là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π / k size 12{2π/k} {} , k size 12{k} {} là số nguyên dương. Khi đó nếu l ∈ Z size 12{l in Z} {} không chia hết cho k size 12{k} {} , thì

Vì răng l size 12{l} {} không chia hết cho k size 12{k} {} nên eilt/k=1 size 12{e rSup { size 8{ ital "ilt"/k} } { { {}=}}1} {}, do đó ta có kết quả trên.

Từ định nghĩa của sai phân ta đã suy ra

Nhưng Kn,r(t) size 12{K rSub { size 8{n,r} } ( t ) } {} là đa thức lượng giác chẵn, nên Sn(f,x) size 12{S rSub { size 8{n} } ( f,x ) } {} là tổ hợp tuyến tính của các tích phân dạng

Vì f(x+kt) size 12{f ( x+ ital "kt" ) } {} là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π/k size 12{2π/k} {}, nên theo Bổ đề trên (1.8) chỉ khác 0 size 12{0} {} khi l size 12{l} {} chia hết cho k. Khi đó chỉ cần đổi biến u=x+kt size 12{u=x+ ital "kt"} {} và áp dụng công thức cộng cung của hàm số cos size 12{"cos"} {}, ta sẽ nhận được Sn(f) size 12{S rSub { size 8{n} } ( f ) } {} là một đa thức lượng giác bậc n. size 12{n "." } {}

Định lý 1.4 (Steckhin [1951])

Với r=1,2... size 12{r"=1,2" "." "." "." } {}, tồn tại hằng số Cr size 12{C rSub { size 8{r} } } {} sao cho

En(f)pCrωr(f,n−1)p,n=1,2,...,1p∞. size 12{E rSub { size 8{n} } ( f ) rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } ω rSub { size 8{r} } ( f,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } ,~n"=1,2," "." "." "." ",1"p infinity "." } {} (4.9)

Proof. Ta có ωr(f,t)p(nt+1)rωr(f,n−1)p size 12{ω rSub { size 8{r} } ( f,t ) rSub { size 8{p} } ( ital "nt"+1 ) rSup { size 8{r} } ω rSub { size 8{r} } ( f,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } } {} (tính chất của modul trơn). Sử dụng bất đẳng thức Minkowski,

bất đẳng thức cuối cùng có được do Bổ đề 4.1.1

Hệ quả 1.5 Nếu f ∈ W p r size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } } {} , thì

E n ( f ) p C r n − r ω r ( f ( r ) , n − 1 ) p . size 12{E rSub { size 8{n} } ( f ) rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r} } ω rSub { size 8{r} } ( f rSup { size 8{ ( r ) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } "." } {}

Hệ quả 1.6 Nếu f ∈ H p α size 12{f in H rSub { size 8{p} } rSup { size 8{α} } } {} , α >0 size 12{α">0"} {} , thì E n ( f ) p = O ( n − α ) size 12{E rSub { size 8{n} } ( f ) rSub { size 8{p} } =O ( n rSup { size 8{ - α} } ) } {}

Giả sử f∈L1(T) size 12{f in L rSub { size 8{1} } ( T ) } {}. Ta nói f size 12{f} {} có giá trị trung bình bằng không nếu

thì suy ra

Ta có

2Pf(x)−S­n­°(x)Pp=Pc(0)+f(x)−Sn(x)Pp2Pf−SnPp,1p∞ size 12{2Pf ( x ) - S rSub { size 8{­n} } rSup { size 8{­ circ } } ( x ) P rSub { size 8{p} } =Pc ( 0 ) +f ( x ) - S rSub { size 8{n} } ( x ) P rSub { size 8{p} } 2Pf - S rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } ,~1p infinity } {} (4.11)

Từ (1.11) ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.7

E n ( f ) p C 1 n E n ( f ' ) p , víi1 p ∞ ,f ∈ W ­p ­r . size 12{E rSub { size 8{n} } ( f ) rSub { size 8{p} } C { {1} over {n} } E rSub { size 8{n} } ( { {f}} sup { ' } ) rSub { size 8{p} } ,~"víi1"p infinity ",f" in W rSub { size 8{"­p"} } rSup { size 8{"­r"} } "." } {}

Proof. Gọi S­:­n size 12{ {S} cSup { size 8{­:} } rSub { size 8{­n} } } {} là xấp xỉ tốt nhất của f' size 12{ { {f}} sup { ' }} {}, và Sn size 12{S rSub { size 8{n} } } {} là tích phân tuần hoàn của Sn­°: size 12{ {S rSub { size 8{n} } rSup { size 8{­ circ } } } cSup { size 8{:} } } {}. Do f' size 12{ { {f}} sup { ' }} {} có giá trị trung bình không nên kết hợp (1.11) với Định lý Jackson ta có

2 E n ( f ) p = E n ( f − S n ) p ω 1 ( f − S n , n ­ − 1 ) p C ­1 ­ n P f ' − S n ­ ° : P p size 12{2E rSub { size 8{n} } ( f ) rSub { size 8{p} } =E rSub { size 8{n} } ( f - S rSub { size 8{n} } ) rSub { size 8{p} } ω rSub { size 8{1} } ( f - S rSub { size 8{n} } ,n rSup { size 8{­ - 1} } ) rSub { size 8{p} } C { {"­1"} over {­n} } P { {f}} sup { ' } - {S rSub { size 8{n} } rSup { size 8{­ circ } } } cSup { size 8{:} } P rSub { size 8{p} } } {}

2C 1 n P f ' − S ­ : ­ n P p =2 C 1 n E n ( f ' ) p . size 12{2C { {1} over {n} } P { {f}} sup { ' } - {S} cSup { size 8{­:} } rSub { size 8{­n} } P rSub { size 8{p} } "=2"C { {1} over {n} } E rSub { size 8{n} } ( { {f}} sup { ' } ) rSub { size 8{p} } "." } {}

Bằng cách lặp lại quá trình chứng minh trong bổ đề r size 12{r} {} lần ta thu được kết quả sau:

Hệ quả 1.8

En(f)pCrn−rEn(f(r))p,f∈Wpr. size 12{E rSub { size 8{n} } ( f ) rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r} } E rSub { size 8{n} } ( f rSup { size 8{ ( r ) } } ) rSub { size 8{p} } ,~f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } "." } {} (4.12)

Ta kết thúc mục này bằng nhận xét sau:

Nhận xét 1.9 Các cận trên của sai số xấp xỉ E n ( f ) p size 12{E rSub { size 8{n} } ( f ) rSub { size 8{p} } } {} thường viết ở một trong các dạng sau:

Từ các tính chất của modul trơn ta có (D)⇒(C)⇒(B)⇒(A) size 12{ ( D ) drarrow ( C ) drarrow ( B ) drarrow ( A ) } {} (chứng minh xem như một bài tập).

Dưới đây chúng ta sẽ xấp xỉ đồng thời f size 12{f} {} và các đạo hàm f(k) size 12{f rSup { size 8{ ( k ) } } } {}, k=1,2,...,r size 12{k"=1,2," "." "." "." ,r} {}, bởi Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} và các đạo hàm Tn(k),k=1,...,r size 12{T rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ ( k ) } } ,k"=1," "." "." "." ,r} {}.

Bổ đề 2.1 Cho g ∈ L p ( T ) size 12{g in L rSub { size 8{p} } ( T ) } {} , 1 p < ∞ size 12{1p< infinity } {} , hoặc g ∈ C ( T ) , p = ∞ , size 12{g in C ( T ) ,p= infinity ,} {} và đa thức lượng giác T n size 12{T rSub { size 8{n} } } {} thoả mãn

Pg − T n P p Kω ( f , n − 1 ) p . size 12{Pg - T rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } Kω ( f,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } "." } {}

Khi đó ta có

P T n ' P P K 1 nω ( g , n − 1 ) , K 1 :=2 ( K + 1 ) . size 12{P { {T}} sup { ' } rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{P} } K rSub { size 8{1} } nω ( g,n rSup { size 8{ - 1} } ) ,~K rSub { size 8{1} } ":=2" ( K+1 ) "." } {}

Proof. Đặt h:=n−1 size 12{h":="n rSup { size 8{ - 1} } } {}, ta có

PT n ( ⋅ + h ) − T n ( ⋅ − h ) P p 2Pg − T n P p + ω ( f ,2 h ) p 2 ( K + 1 ) ω ( g , h ) p . size 12{PT rSub { size 8{n} } ( cdot +h ) - T rSub { size 8{n} } ( cdot - h ) P rSub { size 8{p} } 2Pg - T rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } +ω ( f",2"h ) rSub { size 8{p} } 2 ( K+1 ) ω ( g,h ) rSub { size 8{p} } "." } {}

Mặt khác sử dụng khai triển thành chuỗi Taylor của Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} và sử dụng bất đẳng thức Bernstien ta có

Từ đây ta suy ra khẳng định trên.

Từ bổ đề trên ta đi đến định lý về xấp xỉ đồng thời

Định lý 2.2 (Czipszer và Freud [1958]) Cho f ∈ W p r ,1 p ∞ size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } ",1"p infinity } {} , và T n size 12{T rSub { size 8{n} } } {} là đa thức xấp xỉ tốt nhất của f size 12{f} {} . Khi đó

Pf ( k ) − T n ( k ) P p C r E n ( f ( k ) ) p , k =0,1, . . . , n =0,1, . . . , size 12{Pf rSup { size 8{ ( k ) } } - T rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ ( k ) } } P rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } E rSub { size 8{n} } ( f rSup { size 8{ ( k ) } } ) rSub { size 8{p} } ,~k"=0,1," "." "." "." ,n"=0,1," "." "." "." ,} {}

Proof. Định lý được chứng minh bằng quy nạy theo r size 12{r} {}.

Nếu r=0 size 12{r"=0"} {}, thì hiển nhiên k=0 size 12{k"=0"} {}. Do Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất f size 12{f} {}, nên định lý đúng với r=0 size 12{r"=0"} {}.

Giả sử định lý đúng với r=0 size 12{r { { {}=}}0} {}, ta chứng minh định lý đúng với r+1 size 12{r+1} {}. Giả sử f∈Wpr+1 size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r+1} } } {}, ký hiệu Sn: size 12{ {S rSub { size 8{n} } } cSup { size 8{:} } } {} là đa thức xấp xỉ tốt nhất f' size 12{ { {f}} sup { ' }} {}, và Sn size 12{S rSub { size 8{n} } } {} là tích phân tuần hoàn của Sn:−a(0) size 12{ {S rSub { size 8{n} } } cSup { size 8{:} } - a ( 0 ) } {},( a(0) size 12{a ( 0 ) } {} là hạng tử tự do của Sn: size 12{ {S rSub { size 8{n} } } cSup { size 8{:} } } {}). Sử dụng (1.11) và giả thiết quy nạp ta có

Pf ( k + 1 ) − S n ( k + 1 ) P p C r E n ( f ( k + 1 ) ) p . size 12{Pf rSup { size 8{ ( k+1 ) } } - S rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ ( k+1 ) } } P rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } E rSub { size 8{n} } ( f rSup { size 8{ ( k+1 ) } } ) rSub { size 8{p} } "." } {}

Gọi Rn size 12{R rSub { size 8{n} } } {} là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất f−Sn size 12{f - S rSub { size 8{n} } } {}. Khi đó ta có Tn=Rn+Sn size 12{T rSub { size 8{n} } =R rSub { size 8{n} } +S rSub { size 8{n} } } {}, và

P R n ' P p Cn ω ( f − S n , n − 1 ) p CP f ' − S n ' P p CE n ( f ' ) p , size 12{P { {R}} sup { ' } rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } ital "Cn"ω ( f - S rSub { size 8{n} } ,n rSup { size 8{ - 1} } ) rSub { size 8{p} } CP { {f}} sup { ' } - { {S}} sup { ' } rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } ital "CE" rSub { size 8{n} } ( { {f}} sup { ' } ) rSub { size 8{p} } ,} {}

trong đó bất đẳng thức thứ nhất là do Bổ đề 4.2.1, bất đẳng thức thứ hai là do bất đẳng thức Minkowski ( cụ thể hơn là tính chất của modul trơn), bất đẳng thức cuối cùng là do giả thiết quy nạp với k=0 size 12{k"=0"} {}.

Sử dụng bất đẳng thức Bernstein và Hệ quả 4.1.8 ta có

PR n ( k + 1 ) P p Cn k P R n ' P p Cn k E n ( f ' ) p CE n ( f ( k + 1 ) ) p . size 12{PR rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ ( k+1 ) } } P rSub { size 8{p} } ital "Cn" rSup { size 8{k} } P { {R}} sup { ' } rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } ital "Cn" rSup { size 8{k} } E rSub { size 8{n} } ( { {f}} sup { ' } ) rSub { size 8{p} } ital "CE" rSub { size 8{n} } ( f rSup { size 8{ ( k+1 ) } } ) rSub { size 8{p} } "." } {}

Ta có Pf−TnPp=En(f)p size 12{Pf - T rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } =E rSub { size 8{n} } ( f ) rSub { size 8{p} } } {} và hơn nữa với k=0,1,..r size 12{k"=0,1," "." "." r} {},

Pf ( k + 1 ) − T n ( k + 1 ) P p Pf ( k + 1 ) − S n ( k + 1 )