Các trường hợp mạch điện RL và RC
Phương trình mạch điện đơn giản trong trường hợp tổng quát Ta có thể thấy ngay phương trình mạch điện đơn giản trong trường hợp tổng quát có dạng: Trong đó y chính là biến số, hiệu thế v hoặc dòng điện i ...
Phương trình mạch điện đơn giản trong trường hợp tổng quát
Ta có thể thấy ngay phương trình mạch điện đơn giản trong trường hợp tổng quát có dạng:
Trong đó y chính là biến số, hiệu thế v hoặc dòng điện i trong mạch, P là hằng số tùy thuộc các phần tử R, L, C và Q tùy thuộc nguồn kích thích, có thể là hằng số hay một hàm theo t.
Ta có thể tìm lời giải tổng quát cho phương trình (4.4) bằng phương pháp thừa số tích phân: nhân 2 vế phương trình với một thừa số sao cho vế thứ nhất là đạo hàm của một hàm và sau đó lấy tích phân 2 vế
Nhân 2 vế của (4.4) với ept
Đáp ứng cũng thể hiện rõ 2 thành phần :
- Đáp ứng tự nhiên yn=Ae-pt và
- Đáp ứng ép yf = Q/P.
So sánh với các kết quả phần 4.1 ta thấy thời hằng là 1/P
Thí dụ 4.2
Tìm i2 của mạch (H 4.9) khi t>0, cho i2(0)=1 A
Một phương pháp ngắn gọn
Dưới đây giới thiệu một phương pháp ngắn gọn để giải nhanh các mạch bậc 1 không chứa nguồn phụ thuộc.
Lấy lại thí dụ 4.2.
Lời giải i2 có thể viết: i2 = i2n + i2f
- Để xác định i2n, ta xem mạch như không chứa nguồn (H 4.10a)
Điện trở tương đương nhìn từ cuộn dây gồm 2 điện trở 4Ω mắc song song (=2Ω), nối tiếp với 8Ω, nên Rtđ = 2Ω+8Ω = 10Ω
Thí dụ 4.3
Tìm i(t) của mạch (H 4.11) khi t>0, cho v(0)=24 V
Ta có
i = in + if
Để xác định in ta lưu ý nó có cùng dạng của hiệu thế v ở 2 đầu tụ điện.
Thật vậy, tất cả các đáp ứng tự nhiên khác nhau trong một mạch thì liên hệ với nhau qua các phép toán cộng, trừ, vi tích phân; các phép toán này không làm thay đổi giá trị trên mũ mà nó chỉ làm thay đổi các hệ số của hàm mũ.
Thời hằng của mạch là:
τ =RC=10x0,02=0,2 s
in =Ae-5t
Ở trạng thái thường trực, tụ điện tương đương mạch hở:
if = i = 1A
Vậy i(t) =Ae-5t + 1 (A)
Để xác định A, ta phải xác định i(0+)
Viết phương trình cho vòng bên phải
-4 i(0+) +6[1- i(0+)] +24 = 0 ⇒ i(0+) = 3 A
3=A+1 ⇒ A=2
Vậy i(t) =2e-5t + 1 (A)
Thí dụ 4.4
Xác định i(t) và v(t) trong mạch (H 4.12a) khi t>0. Biết rằng mạch đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K hở.
Ở trạng thái thường trực (t=0-), tụ điện tương mạch hở và cuộn dây là mạch nôi tắt. Hiệu thế 2 đầu tụ là hiệu thế 2 đầu điện trở 20Ω và dòng điện qua cuộn dây chính là dòng qua điện trở 15Ω
Dùng cầu chia dòng điện xác định dễ dàng các giá trị này:
i(0-)=2A và v(0-) = 60 V
Khi đóng khóa K, ta đã nối tắt 2 nút a và b (H 4.12b).
Mạch chia thành 2 phần độc lập với nhau, mỗi phần có thể được giải riêng.
* Phần bên trái ab chứa cuộn dây là mạch không chứa nguồn:
i(t) = Ae-15t (A)
Với i(0-) = i(0-)=2 ⇒ A=2
i(t) = 2e-15t (A)
* Phần bên phải ab là mạch có chứa nguồn 6A và tụ .15F
Hiệu thế v(t) có thể xác định dễ dàng bằng phương pháp ngắn gọn:
v(t) = 20e-t+40 (V)
Đáp ứng đối với hàm nấc
Xét một mạch không chứa năng lượng ban đầu, kích thích bởi một nguồn là hàm nấc đơn vị. Đây là một trường hợp đặc biệt quan trọng trong thực tế.
Mạch (H 4.13), trong đó vg=u(t)
Thí dụ 4.5
Mạch (H 4.14). Xác định vo(t)
Thí dụ 4.6
Xác định v(t) trong mạch (H 4.16a). Với nguồn kích thích ig(t) có dạng sóng như (H 4.16b)
Mạch không tích trữ năng lượng ban đầu nên i(0-)=0; ở t=0 nguồn dòng điện 10A áp vào mạch, cho đến lúc t=1 s thì nguồn này bị ngắt (giống như mở khóa K)
Tóm lại, ta có thể hình dung mạch hoạt động như sau:
* 0<t<1, mạch có nguồn ngoài i=10A và không tích trữ năng lượng ban đầu.
* t ≥ 1, mạch không có nguồn ngoài và cuộn dây đã tích trữ năng lượng ứng với dòng i(1-)
Lời giải của bài toán gồm 2 phần:
Áp dụng định lý chồng chất
Với các mạch có chứa 2 hay nhiều nguồn độc lập, chúng ta có thể dùng định lý chồng chất để giải
Trở lại thí dụ 4.6.
Nguồn dòng ig trong mạch có thể viết lại:
ig = 10u(t) - 10u(t-1)
Nguồn này có thể xem như gồm 2 nguồn mắc song song i 1 và i2
ig = i 1 + i2 với i 1 = 10 u(t) và i2 = -10u(t-1) (H 4.18)
Gọi v1 và v2 lần lượt là các đáp ứng đối với từng nguồn i 1 và i2
Trong phần trước ta đã xác định được:
v1(t) = 12(1-e-t )u(t)
Dòng i2 có dạng đảo của i 1 và trễ 1s.Vậy v2(t) có được bằng cách nhân v1(t) với -1 và thay t bởi (t-1):
v2(t) = -12(1-e-(t-1) )u(t-1)
Và kết quả cuối cùng:
v(t) = v1(t) + v2(t) = 12(1-e-t )u(t) -12(1-e-(t-1) )u(t-1)
Kết quả này có vẻ như khác với kết quả trước. Tuy nhiên sinh viên có thể chứng minh hai kết quả chỉ là một.
Thí dụ 4.7
Mạch (H 4.19). Xác định hiệu thế v(t) ở 2 đầu tụ khi t>0. Biết rằng tụ đã nạp điện ban đầu với hiệu thế V0
Biểu thức cho thấy đáp ứng dòng điện i trở thành Ki khi các nguồn độc lập (V1& I1) và hiệu thế ban đầu của tụ (V0) nhân với K. Kết quả này có thể mở rộng cho mạch tuyến tính chứa một hoặc nhiều tụ điện (hay cuộn dây). Hiệu thế ban đầu của tụ (hay dòng điện ban đầu của cuộn dây) cũng được xem như một nguồn độc lập.
Ap dụng định lý chồng chất, ta xác định v là tổng của v1, v2 và v3 lần lượt là đáp ứng riêng rẽ của V1, I1 và V0. Các mạch điện tương ứng là (H 4.20a), (H 4.20b) và (H 4.20c)
Áp dụng phương pháp giải ngắn gọn, ta được các kết quả:
v1=V1(1-e-t/(R1+R2)C)
v2=-R2I1(1-e-t/(R1+R2)C)
v3=V0e-t/(R1+R2)C
Trong đó v1 và v2 là đáp ứng của mạch có chứa nguồn DC và v3 là đáp ứng của mạch không chứa nguồn.
v(t) = v1+ v2+ v3 = V1(1-e-t/R1+R2)C) - R2I1(1-e-t/R1+R2)C)+ V0e-t/R1+R2)C
= V1- R2I1+(R2I1- V1+ V0)e-t/R1+R2)C
Có thể thấy ngay đáp ứng gồm 2 phần: đáp ứng ép và đáp ứng tự nhiên
vf = V1- R2I1
và vn=(R2I1- V1+ V0)e-t/R1+R2)C
Các kết quả này cũng có thể kiểm chứng như sau:
Từ (H 4.20a) và (H 4.20b) ta có ngay:
v1f = V1
v2f = - R2I1
Và đáp ứng tự nhiên, xác định từ mạch không chứa nguồn:
vn =A e-t/R1+R2)C A là hằng số tích phân
v(t)= V1- R2I1+Ae-t/R1+R2)C
Với v(0)=V0 ⇒ A= R2I1- V1+V0
Ta được lại kết quả trên.
