Các phương pháp triển khai hàm P(s)/Q(s), định lý giá trị đầu cuối và bài tập
Trong phân giải mạch điện bằng phép biến đổi Laplace, kết quả đạt được là một hàm theo s có dạng P(s)/Q(s) , trong đó P(s) và Q(s) là các đa thức. Nếu P(s)/Q(s) có dạng trong bảng 1 thì ta có ngay kết quả biến đổi Laplace ngược. Trong nhiều trường ...
Trong phân giải mạch điện bằng phép biến đổi Laplace, kết quả đạt được là một hàm theo s có dạng P(s)/Q(s) , trong đó P(s) và Q(s) là các đa thức.
Nếu P(s)/Q(s) có dạng trong bảng 1 thì ta có ngay kết quả biến đổi Laplace ngược. Trong nhiều trường hợp ta phải triển khai P(s)/Q(s) thành tổng các hàm đơn giản hơn và có trong bảng.
Gọi m và n là bậc của P(s) và Q(s)
Có 2 trường hợp
* m≤n, có thể triển khai ngay P(s)/Q(s)
* m>n, ta phải thực hiện phép chia để được
(10.18)
P1(s) và Q1(s) có bậc bằng nhau và ta có thể triển khai P1(s)/Q1(s)
Triển khai từng phần
Triển khai từng phần
Trường hợp 1
Q(s)=0 có nghiệm thực phân biệt s1 , s2, . . . sn.
(10.19)
Ki (i= 1, 2,. . . ., n) là các hằng số xác định bởi:
(10.20)
Thí dụ 10.14
Trường hợp 2
Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r
(10.21)
Để xác định K1, K2, . . . Kr, ta xét thí dụ sau:
Thí dụ 10.15
Triển khai
(1)
Nhân 2 vế phương trình (1) với (s+1)2
s+2=(s+1)K1+K2 (2)
Cho s=-1, ta được K2=1
Nếu ta cũng làm như vậy để xác định K1 thì sẽ xuất hiện các lượng vô định
Để xác định K1, lấy đạo hàm theo s phương trình (2)
1+0=K1+0 ⇒ K1=1
Tóm lại
Và i(t) = e-t + te-t
Với Q(s)=0 có nghiệm kép, một hằng số được xác định nhờ đạo hàm bậc 1.
Suy rộng ra, nếu Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r, ta cần các đạo hàm từ bậc 1 đến bậc r-1.
Trường hợp 3
Q(s)=0 có nghiệm phức liên hợp s=α ± jω
Thí dụ 10.16
Công thức Heaviside
Tổng quát hóa các bài toán triển khai hàm I(s)=P(s)/Q(s), Heaviside đưa ra công thức cho ta xác định ngay hàm i(t), biến đổi ngươc của I(s)
Q(s)=0 có n nghiệm phân biệt
Trong đó sj là nghiệm thứ j của Q(s)=0
Thí dụ 10.17
Giải lại thí dụ 10.14 bằng công thức Heaviside
Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r
Thí dụ 10.18
Giải lại thí dụ 10.15 bằng công thức Heaviside
Thí dụ 10.19
Cho mạch điện (H 10.11), tụ C tích điện đến V0=1V và khóa K đóng ở t=0. Xác định dòng i(t)
(Để ý dấu của điện tích đầu trên tụ ngược chiều điện tích nạp bởi dòng i(t) khi chạy qua mạch)
Thay giá trị đầu vào, sắp xếp lại
Thí dụ 10.20
Cho mạch (H 10.12), khóa K đóng ở t=0 và mạch không tích trữ năng lượng ban đầu. Xác định i2(t)
Lấy biến đổi Laplace, để ý mạch không tích trử năng lượng ban đầu:
Định lý giá trị đầu
(10.29) chính là nội dung của định lý giá trị đầu
Lấy trường hợp thí dụ 10.10, ta có:
Định lý giá trị cuối
(10.30) chính là nội dung của định lý giá trị cuối, cho phép xác định giá trị hàm f(t) ở trạng thái thường trực.
Tuy nhiên, (10.30) chỉ xác định được khi nghiệm của mẫu số của sF(s) có phần thực âm, nếu không 
f(t) không hiện hữu.
Thí dụ, với f(t)=sint thì sin∞ không có giá trị xác định (tương tự cho e∞). Vì vậy (10.30) không áp dụng được cho trường hợp kích kích là hàm sin.
Lấy lại thí dụ 10.13, xác định dòng điện trong mạch ở trạng thái thường trực
10.1 Mạch (H P10.1). Khóa K đóng ở t=0 và mạch không tích trữ năng lượng ban đầu. Xác định i(t) khi t> 0
10.2 Mạch (H P10.2). Xác định v(t) khi t> 0. Cho v(0)=10V
(H P10.1) (H P10.2)
10.3 Mạch (H P10.3). Xác định vo(t)
Cho 
10.4 Mạch (H P10.4). Xác định vo(t). Cho vo(0)=4V và i(0)=3A
(H P10.3) (H P10.4)
10.5 Mạch (H P10.5). Xác định io(t).
10.6 Mạch (H P10.6). Dùng định lý kết hợp xác định vo(t).
(H P10.5) (H P10.6)
10.7 Mạch (H P10.7) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K ở vị trí 1. Chuyển K sang vị trí 2, thời điểm t=0. Xác định i khi t>0
(H P10.7)
10.8 Mạch (H P10.8) đạt trạng thái thường trực ở t=0. Xác định v khi t>0
(H P10.8)
10.9 Mạch (H P10.9) đạt trạng thái thường trực ở t=0- Xác định i khi t>0
(H P10.9)
10.10 Mạch (H P10.10). Xác định i(t)khi t>0. Cho v(0) = 4 V và i(0) = 2 A
(H P10.10)
