Bài tập 44,45,46, 47,48,49, 50,51,52 trang 86,87 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cung chứa góc

Bài tập 44,45,46, 47,48,49, 50,51,52 trang 86,87 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cung chứa góc

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 44, 45, 46, 47 trang 86; Bài 48, 49, 50, 51, 52 trang 87 SGK Toán 9 tập 2: Cung chứa góc – Chương 3 hình học.

Bài 44. Cho ΔABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Theo tính chất của góc ngoài tam giác, ta có:

∠I₁=∠A₁ + ∠B_{1 (1)}

∠I₂=∠A₂ + ∠C_{1 (2)}

Cộng vế (1) và (2) vế với vế:

∠I₁ + ∠I₂ = ∠A₁ + ∠B₁ + ∠A₂ + ∠C₁

Hay ∠I = 90⁰ + 45⁰ =135⁰

Điểm I nhìn đoạn-thẳng BC cố định dưới góc 135⁰ không đổi, vậy quỹ tích của I là góc cung-chứa-góc 135⁰ dựng trên đoạn-thẳng BC

Bài 45. Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Theo tính chất của hình thoi, các đường chéo hình thoi vuông góc với nhau. Như vậy nếu cạnh AB cố định giao điểm O của các đường chéo hình thoi ABCD dưới góc 90⁰ không đổi. Vậy quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo hình thoi ABCD khi AB cố định là đườngtròn đường kính AB.

Bài 46 trang 86. Dựng một cung-chứa-góc 55^o trên đoạn thẳng AB = 3cm

Trình tự dựng như sau:

– Dựng đoạnthẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm)

– Dựng góc xAB = 55^o (dùng thước đo góc và thước thẳng)

– Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke)

– Dựng đường trung trực d của đoạnthẳng AB (dùng thước có chi khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.

– Dựng đườngtròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)

Ta có: Cung AmB là cung-chứa-góc 55⁰ dựng trên đoạnthẳng AB = 3cm (một cung)

Bài 47 trang 86. Gọi cung chứagóc 55^o ở bài tập 46 là cung AmB. Lấy điểm M₁ nằm bên trong và điểm M₂ nằm bên ngoài đườngtròn chứa cung này sao cho M_1, M₂ và cung AmB nằm cùng về một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

a) ∠AM₁B > 55⁰;

b) ∠AM₂B < 55⁰.

a)

M₁ là điểm bất kì nằm trong cung chứagóc 55⁰ (hình a). Gọi B’, A’ theo thứ tự là giao điểm của M₁A, M₁B với cung tròn. Vì ∠AM₁B là góc có đỉnh nằm trong đường -tròn, nên:

∠AM₁B =  sđ cung(AB +A’B’)/2 = sđcung AB/2 +  sđcung A’B’/2  = 55⁰+ (một số dương)

Vậy ∠AM₁B > 55⁰

b)

M₂ là điểm bất kì nằm ngoài đườngtròn (h.b), M₂A, M₂B lần lượt cắt đườngtròn tại A’, B’. Vì ∠AM₂B là góc có đỉnh nằm bên ngoài đườngtròn nên: ∠AM₂B= sđcung(AB – A’B’)/2= sđAB/2 – sđA’B’/2 = 55⁰ –  (một số dương)

Vậy  ∠AM₂B <  55⁰

Bài 48 trang 87 Toán 9 tập 2 . Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Trường hợp các đường-tròn tâm B có bán kính nhỏ hơn BA. Giả sử AT là tiếp tuyến của đường-tròn tâm B. Với T là tiếp điểm.

Khi đó AT⊥BT ⇒ ∠ATB = 90⁰. Điểm T nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông nnê quỹ tích của T là đường-tròn đường kính AB.
– Trường hợp đường-tròn tâm B, có bán kính bằng BA. Khi oó quỹ tích chỉ là điểm A.

Bài 49 trang 87. Dựng ΔABC, biết BC = 6cm, ∠A = 40^o và đường cao AH = 4cm.

Trình tự dựng gồm 3 bước:

– Dựng đoạn-thẳng BC = 6cm

– Dựng cungchứagóc 40^o trên đoạn-thẳng BC.

– Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:

Trên đường trung trực d của đoạnthẳng BC lấy đoạn HH’ = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH’ tại H

Gọi giao điểm xy và cungchứagóc là ∠A, ∠A’. Khi đó ΔABC hoặc A’BC đều thỏa yêu cầu của đề toán.

Bài 50. Cho đườngtròn đường-kính AB cố định. M là một điểm chạy trên đườngtròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.

a) Chứng minh ∠AIB không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.

Đáp án.

a)

Vì ∠BMA = 90⁰  (góc nội tiếp chắn nửa đgtròn) suy ra trong Δvuông MIB có tg∠AIB = MB/MI = 1/2
⇒ ∠AIB =  26⁰34’

Vậy ∠AIB không đổi.

b) Phần thuận:

Khi điểm M chuyển động trên đgtròn đường-kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn-thẳng AB cố định dưới góc 26^o34’, vậy điểm I thuộc hai cung chứagóc 26^o34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung AmB và  Am’B)

Phần đảo:

Lấy điểm I’ bất kì thuộc cung AmB hoặc cung Am’B, I’A cắt đgtròn đườngkính AB tại M’.

Δvuông BMT, có tg∠I’ =  M’B/M’I’ = tg26⁰34’

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung cung AmB và Am’B.

Bài 51. Cho I, O lần lượt là tâm đgtròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC với ∠A = 60⁰. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’

Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đgtròn.

Xét tứ giác AB’HC’ ta có:

∠B’HC’ = 360⁰ -(∠A +∠B’ + ∠C’)

=360⁰ – (60⁰ + 90⁰ + 90⁰) = 120⁰

⇒ ∠BHC =120⁰ (Đối đỉnh với góc B’HC’)

Trong ΔBIC ta có:

∠BIC = 180⁰ – (∠IBC + ∠ICB) = 180⁰ -(∠B/2 + ∠C/2)

=180⁰ -1/2(180⁰ -∠A) =180⁰ -1/2(180⁰ – 60⁰) =120⁰

Như vậy H, I đều nằm trên cung chứagóc 120⁰ dựng trên BC.Mặt khác ΔABC nội tiếp trong đường–tròn tâm O nên góc nội tiếp BAC trong đường tròn (O) có số đo:

60⁰ = ∠BAC =1/2sđ cungBC =1/2 ∠BOC  ⇒∠BOC =120⁰

Vậy O cùng nằm trên cungchứagóc 120⁰ dựng trên BC. ĐIều này có nghĩa là 5 điểm B,C,O,H,I nằm trên cùng một đườngtròn chứa cung-chứa-góc 120⁰ dựng trên BC.

Bài 52. “Góc sút” của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11 m.

Gọi BC là bề rộng của cầu môn BC =7,32m

Bóng dặt ở vị trí A sao cho ΔABC cân tại A có đường cao AH =11m thì “góc sút” là góc BAC.

Ta có: ΔABC cân tại A.

⇒ HB =HC =3,66m (đường cao AH cũng là trung tuyến)

ΔAHB vuông ở H.

⇒tg∠A1 = BH/AH=3,66/11=0,3327

⇒∠A1 ≈ 18⁰40′ ⇒ ∠BAC ≈2.18⁰40’=37⁰20′

Do đó góc sút của quả phạt đền là: 37⁰20′

Điểm A nhìn BC dưới một góc 37⁰20′ dựng trên đoạn BC.