Bài tập 10,11,12 ,13,14 trang 71,72 SGK Toán lớp 9 tập 2: Liên hệ giữa cung và dây

Bài tập 10,11,12 ,13,14 trang 71,72 SGK Toán lớp 9 tập 2: Liên hệ giữa cung và dây

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 10 trang 71; bài 11,12 ,13,14 trang 72 SGK Toán 9 tập 2: Liên hệ giữa cung và dây –  Chương 3 hình học 9.

1. Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

2. Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Hướng dẫn làm bài tập Liên hệ giữa cung và dây SGK trang 71,72 Toán 9 tập 2.

Bài 10. a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60º. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet?

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.

a) Vẽ đường tròn (O; R). Vẽ góc ở tâm có số đo  60º. Góc này chắn cung BOAcó số đo 60º(hình a).

Tam giác AOB cân có góc O = 60º   nên tam giác đều, suy ra AB = R.

b) Theo câu a, ta có góc ở tâm bằng sđ cung AB= 60º. Số đo góc ở tâm vẽ được theo cách này là 360º : 60º= 6. Suy ra được 6 cung tròn bằng nhau trên đường tròn.

Từ đó suy ra cách vẽ như sau:

Vẽ 6 dây cung bằng nhau và bằng bán kính R:

A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅ = A₅A₆ = A₆A₁ = R

Từ đó suy ra 6 cung bằng nhau:

Cung A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ =A₄A₅= A₅A₆ = A₆A₁ = 60º (hình b)

Bài 11. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’).

a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD ( tức điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: ∩ BE = BD

a) Nối C đến D.

Giải: Ta có 2 đường tròn bằng nhau => AC = AD

=> ∆ ACD cân tại A

Lại có góc ABC = 90°; do có OB = OC = OA = R ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền )
Tương tự có góc ABD = 90°

=> ABC + ABD = 180°

=> C; B; D thẳng hàng và AB ⊥ CD

=> BC = BD

=> cung BC = cung BD

b) Nối E đến D; từ B hạ BH ⊥ ED

Ta có góc DEA = 90° ( chứng minh tương tự theo a )

=> BH // EC

Mà theo a ta có BE = BD

=> BH là đường trung bình tam giác CDE

=> HE = HD

mà BH ⊥ ED => B là điểm chính giữa cung EBD

Bài 12 trang 72 . Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, Ok với BC và BD (H ∈ BC, K ∈ BD).

a) Chứng minh rằng OH > Ok.

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

Đáp án bài 12:

a ) Trong tam giác ABC ta có:
BC < BA + AC (BĐT)
Mà AC = AD (gt)
⇒ BC < BA + AD = BD ( A thuộc BD)
Mà: OH ⊥ BC; OK ⊥BD (gt)
⇒ OH > OK (Liên hệ dây cung và khoảng cách đến tâm)

b) Ta có BC < BD (cmt)
nên suy ra BC < BD ( liên hệ cung và dây)

Bài 13. Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Giải: Giả sử AB và CD là các dây song song của đường tròn (O). Kẻ OI ⊥ AB (I ∈ AB) và OK ⊥ CD (K∈CD. Do AB //CD nên I,O,K thẳng hàng. Do các tamgiác OAB, OCD là các tam giác cân đỉnh O nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: Góc ∠O₁ = ∠O₂, ∠O₃ = ∠O₄

Giả sử AB nằm ngoài góc COD, ta có:

∠AOC = 180⁰ – (∠O₁ + ∠O₃) = 1800 -(∠O₂ + ∠O₄) = ∠BOD

Suy r cung AC= cung BD. Nghĩa là hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Các trường hợp khác ta chứng minh tương tự.

Bài 14. Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Đáp án. a) Giả sử đường kính CD của đường tròn (O) có C là điểm chính giữa của cung AB, nghĩa là cung AC = cung CB suy ra ∠O₁ = ∠O₂

Gọi I là giao điểm của CD và AB. Khi đó OI là phân giác, đồng thời là trung tuyến của tam giác OAB (Do ΔOAB cân đỉnh O)

Vậy I là trung điểm của AB.

* Mệnh đề đảo không đúng vì nếu dây cung AB cũng là một đường kính thì dây CD đi qua trung điểm của dây AB nhưng không đi qua điểm chính giữa của cung AB.

* Để mệnh đề đảo chúng ta cần bổ sung thêm: Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm của đường tròn thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

b) Thuận: Giả sử đường kính CD đi qua C là điểm chính giữa cung AB ⇒ cungAC = cungCB

⇒ AOC = COB ⇒ OC là tia phân giác của góc ∠AOB

Vì ΔOAB cân đỉnh O nên đường phân giác đồng thời là đường cao.

Vậy: OC ⊥ AB hay CD ⊥ AB.

Đảo: Giả sử đường kính AB ⊥ CD tại I.

Khi đó: OI là tia phân giác của góc ∠AOB ⇒ AOC = BOC ⇒ AC= BC

⇒ C là điểm giữa cung AB.