Bài 9 trang 70 sgk Toán 9 - tập 1

Bài 9 trang 70 sgk Toán 9 - tập 1

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L.

Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng (frac{1}{DI^{2}}+frac{1}{DK^{2}}) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

a) (Delta ADI) và (Delta CDL) có:

(widehat{A}=widehat{C}= 90^{circ})

(AD=CD) (hai cạnh hình vuông)

(widehat{D_{1}}=widehat{D_{2}}) cùng phụ với (widehat{CDI})

Do đó (Delta ADI=Delta CDL) (g.c.g)

Suy ra (DI=DL). Vậy (Delta DIL) cân

b) Áp dụng hệ thức (frac{1}{h^{2}}=frac{1}{b^{2}}+frac{1}{c^{2}}) ta có (frac{1}{DC^{2}}=frac{1}{DL^{2}}+frac{1}{DK^{2}})

Do đó (frac{1}{DC^{2}}=frac{1}{DI^{2}}+frac{1}{DK^{2}})

Do DC không đổi nên (frac{1}{DI^{2}}+frac{1}{DK^{2}}) là không đổi.

Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức (frac{1}{h^{2}}=frac{1}{b^{2}}+frac{1}{c^{2}})

Nếu đề bài không cho vẽ (DLperp DK) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ (DLperp DK) để có thể vận dụng hệ thức trên.

soanbailop6.com