Bài 6 trang 77 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng

Giả sử A và B là hai biến cố ({{Pleft( {A cup B} ight)} over {Pleft( A ight) + Pleft( B ight)}} = a). Chứng minh rằng

a) ({{Pleft( {A cap B} ight)} over {Pleft( A ight) + Pleft( B ight)}} = 1 - a;)     

b) ({1 over 2} le a le 1.)    

Giải:

a)      Vì (Pleft( {A cap B} ight) = Pleft( A ight) + Pleft( B ight) - Pleft( {A cup B} ight)) nên

({{Pleft( {A cap B} ight)} over {Pleft( A ight) + Pleft( B ight)}} = {{Pleft( A ight) + Pleft( B ight) - Pleft( {A cup B} ight)} over {Pleft( A ight) + Pleft( B ight)}} = 1 - a.)

b)      Vì (Pleft( {A cup B} ight) = Pleft( A ight) + Pleft( B ight) - Pleft( {A cap B} ight) le Pleft( A ight) + Pleft( B ight))

Nên (a = {{Pleft( {A cup B} ight)} over {Pleft( A ight) + Pleft( B ight)}} le 1,,,,left( 1 ight))           

Mặt khác, (2Pleft( {A cup B} ight) = Pleft( {A cup B} ight) + Pleft( {A cup B} ight) ge Pleft( A ight) + Pleft( B ight))

Vậy (a = {{Pleft( {A cup B} ight)} over {Pleft( A ight) + Pleft( B ight)}} ge {1 over 2})

Kết hợp với (1), ta có ({1 over 2} le a le 1)