Bài 6 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao, a) Tìm tập hợp các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. b) Chứng minh rằng nếu...

Bài 6

a) Tìm tập hợp các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

b) Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện (ABCD) thì (AB + CD = AC + BD = AD + BC)

Giải

a)

Mặt cầu tâm (O) tiếp xúc với ba cạnh (AB, BC, CA) của tam giác (ABC) lần lượt tại các điểm (I, J, K) khi và chỉ khi (OI ot AB,,,,,OJ ot BC,,,,,OK ot CA,,,,,OI = OJ = OK,, in left( * ight))

Gọi (O’) là hình chiếu vuông góc của (O) trên mp ((ABC)) thì các điều kiện (*) tương đương với (O’I ot AB,,,,,O’J ot BC,,,,,O’K ot CA,,,O’I = O’J = O’K) hay (O’) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác (ABC).

Từ đó suy ra tập hợp các điểm (O) là trục của đường tròn nội tiếp tam giác (ABC).

b)

Giả sử mặt cầu ((S)) nội tiếp với các cạnh (AB, BC, CD, DA, AC, BD) lần lượt tại (P, Q, R, S, T, U). Ta cần chứng minh: (AB + CD = AC + BD = AD + BC)

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

(eqalign{
& AB + CD = AP + PB + CR + RD cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = AT + BU + CT + DU cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = left( {AT + TC} ight) + left( {BU + UD} ight) = AC + BD cr} )

Vậy (AB + CD = AC + BD)

Chứng minh tương tự (AC + BD = AD + BC)

Vậy (AB + CD = AC + BD = AD + BC).