Bài 58 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 58 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Với các giá nào của m, đường thẳng đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho: •Tại hai điểm phân biệt? •Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Bài 58

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: (y = {{2x - 1} over {x + 1}})
b) Với các giá nào của (m), đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) đi qua điểm (A(-2;2)) và có hệ số góc (m) cắt đồ thị của hàm số đã cho:
• Tại hai điểm phân biệt?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Giải

a) Tập xác đinh: (D = Rackslash left{ { - 1} ight})

(y' = {3 over {{{(x + 1)}^2}}}>0,,forall xin D)

Hàm số đồng biến trên khoảng (( - infty ; - 1)) và (( - 1; + infty ))

Hàm số không có cực trị

Giới hạn

(mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y = 2) 

Tiệm cận đứng (y=2)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} y = + infty cr
& mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y = - infty cr} )

Tiệm cận đứng: (x=-1)

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao (Ox) tại điểm (left( {{1 over 2};0} ight))

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;-1))

b) Phương trình đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) qua điểm (A(-2;2)) có hệ số góc (m) là:

(y - 2 = mleft( {x + 2} ight),,,,hay,,,,y = mx + 2m + 2)

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

(eqalign{
& ,,,,,mx + 2m + 2 = {{2x - 1} over {x + 1}} cr
& Leftrightarrow left( {mx + 2m + 2} ight)left( {x + 1} ight) = 2x - 1,,,,,left( 1 ight) cr
& Leftrightarrow fleft( x ight) = m{x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0,,,left( 2 ight) cr} )

(vì (x = -1) không là nghiệm của (1))

• Đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ((2)) có hai nghiệm phân biệt, tức là

(left{ matrix{
m e 0 hfill cr
Delta = {m^2} - 12m > 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow m < 0,, ext{ hoặc },m > 12,,,left( * ight))

• Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng (x = -1) của đồ thị.
Đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm ({x_1},,{x_2}) thỏa mãn ({x_1} <  - 1 < {x_2})

(eqalign{
& Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1,,,,,,,,,,, Leftrightarrow left( {{x_1} + 1} ight)left( {{x_2} + 1} ight) < 0 cr
& Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 Leftrightarrow {{2m + 3} over m} - {{3m} over m} + 1 < 0 cr
& Leftrightarrow {3 over m} < 0, ext{(thỏa mãn diều kiện (*))} cr} )

Vậy với (m < 0) thì (left( {{d_m}} ight)) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

soanbailop6.com