Bài 5 trang 30 SBT môn Toán Đại số 10: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương...

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng

a) (y =  – 2x + 3) trên R

b) (y = {x^2} + 10x + 9) trên (( – 5; + infty ))

c) (y =  – {1 over {x + 1}}) trên (-3; -2) và (2; 3).

Gợi ý làm bài

a) (forall {x_1},{x_2} in R) ta có:

(f({x_1}) – f({x_2}) =  – 2{x_1} + 3 – ( – 2{x_2} + 3) =  – 2({x_1} – {x_2}))

Ta thấy ({x_1} > {x_2}) thì (2({x_1} – {x_2}) < 0) tức là:

(f({x_1}) – f({x_2}) < 0 Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2}))

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R.

b) (forall {x_1},{x_2} in R), ta có

(f({x_1}) – f({x_2}) = x_1^2 + 10{x_1} + 9 – x_2^2 – 10{x_2} – 9)

= (({x_1} – {x_2})({x_1} + {x_2}) + 10({x_1} – {x_2}))

= (({x_1} – {x_2})({x_1} + {x_2} + 10)) (*)

(forall {x_1},{x_2} in ( – 5; + infty )) và ({x_1} < {x_2}) ta có ({x_1} – {x_2} < 0) và ({x_1} + {x_2} + 10 > 0) vì 

({x_1} >  – 5;{x_2} >  – 5 =  > {x_1} + {x_2} >  – 10)

Vậy từ (*) suy ra (f({x_1}) – f({x_2}) < 0 Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2}))

Hàm số đồng biến trên khoảng (( – 5; + infty ))

c) (forall {x_1},{x_2} in ( – 3; – 2)) và ({x_1} < {x_2}), ta có

({x_1} – {x_2} < 0;{x_1} + 1 <  – 2 + 1 < 0;{x_2} + 1 <  – 2 + 1 < 0 =  > ({x_1} + 1)({x_2} + 1) > 0). Vậy

(f({x_1}) – f({x_2}) =  – {1 over {{x_1} + 1}} + {1 over {{x_2} + 1}} = {{{x_1} – {x_2}} over {({x_1} + 1)({x_2} + 1)}} < 0 Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2}))

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-3; -2) 

(forall {x_1},{x_2} in ( – 3; – 2)) và ({x_1} < {x_2}) , tương tự ta cũng có (f({x_1}) < f({x_2}))

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).