Bài 40 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Số nguyên tố dạng , trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen...

Bài 40. Số nguyên tố dạng ({M_p} = {2^p} – 1), trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp).

Ơ-le phát hiện ({M_{31}}) năm 1750.

Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp). Phát hiện ({M_{127}}) năm 1876.

({M_{1398269}}) được phát hiện năm 1996.

Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?

(Dễ thấy rằng chữ số của ({2^p} – 1) bằng chữ số của ({2^p})và để tính chữ số của ({M_{127}}) có thể lấy (log 2 approx 0,30) và để tính chữ số của ({M_{1398269}}) có thể lấy (log 2 approx 0,30103) (xem ví dụ 8)

Giải

({M_{31}} = {2^{31}} – 1) và số các chữ số của ({M_{31}}) khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của ({2^{31}}) nên số các chữ số của ({M_{31}}) là

(left[ {31.log 2} ight] + 1 = left[ {9,3} ight] + 1 = 10)

Tương tự, số các chữ số của ({M_{127}} = {2^{127}} – 1) khi viết trong hệ thập phân là

(left[ {127.log 2} ight] + 1 = left[ {38,23} ight] + 1 = 39)

Số các chữ số của ({M_{1398269}}) khi viết trong hệ thập phân là

(left[ {1398269.log 2} ight] + 1 = 420921)