Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A.

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'. Chứng minh rằng

a) (AI ot C{C'},,,AJ ot B{B'},);

b) (B{C'},, ot {B'}C,,).

Giải

 

Ta có (overrightarrow {AI}  = {1 over 2}(overrightarrow {AB}  + overrightarrow {A{B'}} ),,;,,overrightarrow {AJ}  = {1 over 2}(overrightarrow {AC}  + overrightarrow {A{C'}} ))

(eqalign{
& Rightarrow ,,overrightarrow {AI} .,overrightarrow {C{C'}} = {1 over 2}(overrightarrow {AB} + overrightarrow {A{B'}} ).,(overrightarrow {A{C'}} - overrightarrow {AC} ) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = {1 over 2}(overrightarrow {AB} .,overrightarrow {A{C'}} - overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} + overrightarrow {A{B'}} .,overrightarrow {A{C'}} - overrightarrow {A{B'}} .,overrightarrow {AC} ) cr} )

Vì (AB ot AC,,,,A{B'} ot A{C'},) nên (overrightarrow {AB} .,overrightarrow {AC}  = overrightarrow {A{B'}} .,overrightarrow {A{C'}}  = 0)

Mặt khác

(eqalign{
& overrightarrow {AB} .,overrightarrow {A{C'}} = AB.,A{C'}.cos widehat {BA{C'}} cr
& overrightarrow {A{B'}} .,overrightarrow {AC} = A{B'}.,AC.cos widehat {{B'}AC} cr
& Rightarrow ,,,overrightarrow {AB} .,overrightarrow {A{C'}} = overrightarrow {A{B'}} .,overrightarrow {AC} ,, Rightarrow ,,overrightarrow {AI} .,overrightarrow {C{C'}} = 0,, Rightarrow ,,AI ot C{C'} cr} )

Tương tự (overrightarrow {AJ} .,overrightarrow {B{B'}}  = {1 over 2}(overrightarrow {AC}  + overrightarrow {A{C'}} ).,(overrightarrow {A{B'}}  - overrightarrow {AB} ))

(eqalign{
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = {1 over 2}(overrightarrow {AC} .,overrightarrow {A{B'}} - overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} + overrightarrow {A{C'}} .,overrightarrow {A{B'}} - overrightarrow {A{C'}} .,overrightarrow {AB} ) =0cr
& Rightarrow ,,AJ ot B{B'} cr} )

b) Ta có

(eqalign{
& overrightarrow {B{C'}} .,overrightarrow {{B'}C} = (overrightarrow {A{C'}} - overrightarrow {AB} ).,(overrightarrow {AC} - overrightarrow {A{B'}} ) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = overrightarrow {A{C'}} .,overrightarrow {AC} - overrightarrow {A{C'}} .,overrightarrow {A{B'}} - overrightarrow {AB} .,overrightarrow {AC} + overrightarrow {AB} .,overrightarrow {A{B'}} cr} )

 (overrightarrow {AB} .,overrightarrow {A{B'}}  = AB.A{B'}.cos widehat {BA{B'}})

(overrightarrow {AC} .,overrightarrow {A{C'}}  = AC.A{C'}.cos ({180^0} - widehat {BA{B'}}) )

                    (=  - overrightarrow {AB} .,overrightarrow {A{B'}}.)

Do đó: (overrightarrow {B{C'}} .,overrightarrow {{B'}C} =overrightarrow 0)

Vậy (B{C'} ot {B'}C).