Bài 4 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao, Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:...

Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

a) y = x² + 2x – 2 trên mỗi khoảng ((-∞; -1)) và ((-1, +∞))

b) y = -2x + 4x + 1  trên mỗi khoảng ((-∞; 1)) và ((1, +∞))

c) (y = {2 over {x – 3}}) trên mỗi khoảng ((-∞; 3)) và ((3, +∞))

Giải

a)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈  ((-∞; -1)) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = x₂² + 2x₂ – 2 – (x₁² + 2x₁ – 2)

 = x₂² – x₁² + 2(x₂ – x₁) = (x₂ – x₁)(x₁ + x₂ + 2)

(Rightarrow {{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2)

Vì x₁ < -1 và x₂ < -1 nên x₁ + x₂ + 2 < 0

Nên ( Rightarrow {{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} < 0)

Vậy hàm số y = x² + 2x – 2 nghịch biến trên ((-∞; -1))

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ ((-1, +∞)) và x₁ ≠ x₂ ta có:

({{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0)

( Vì x₁ > -1; x₂ > -1)

Vậy hàm số y =  x² + 2x – 2 đồng biến trên ((-1, +∞))

b)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ ((-∞; 1)) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = (-2x₂² + 4x₂ + 1) – (-2x₁² + 4x₁ + 1)

= -2(x₂² – x₁²) + 4(x₂ – x₁) = 2(x₂ – x₁)(2 – x₁ – x₂)

( Rightarrow {{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = 2(2 – {x_1} – {x_2}))

Vì x₁ < 1 và x₂ < 1 nên 2 – x₁ – x₂ > 0

Vậy hàm số y = -2x + 4x + 1 đồng biến trên khoảng ((-∞; 1))

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ ((1; +∞)) và x₁ ≠ x₂ ta có:

({{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = 2(2 – {x_1} – {x_2}) < 0)

(vì x₁ > 1 và x₂ > 1 )

Vậy hàm số số y = -2x + 4x + 1 nghịch biến trên khoảng ((1; +∞))

c)

+ Với x₁, x₂ ∈ ((- ∞; 3)) với x₁ ≠ x₂ ta có:

 (eqalign{
& f({x_2}) – f({x_1}) = {2 over {{x_2} – 3}} – {2 over {{x_1} – 3}} cr 
& = {{2({x_1} – 3) – 2({x_2} – 3)} over {({x_1} – 3)({x_2} – 3)}} = {{2({x_1} – {x_2})} over {({x_1} – 3)({x_2} – 3)}} cr 
& Rightarrow {{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = {{ – 2} over {({x_1} – 3)({x_2} – 3)}} cr} )

(vì x₁ < 3; x₂ < 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

(Rightarrow {{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}}<0)

Vậy hàm số (y = {2 over {x – 3}})  nghịch biến trên ((- ∞; 3))

+ Với x₁, x₂ ∈ ((3; +∞)) với x₁ ≠ x₂ ta có:

({{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = {{ – 2} over {({x_1} – 3)({x_2} – 3)}} < 0)

(vì x₁ > 3; x₂ > 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

Vậy hàm số (y = {2 over {x – 3}}) nghịch biến trên ((3; + ∞))