Bài 4 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao, Cho tam giác ABC....

Bài 4. Cho tam giác (ABC).

a) Tìm các điểm (M) và (N) sao cho

(overrightarrow {MA}  – overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MC}  = overrightarrow 0 ) và (2overrightarrow {NA}  + overrightarrow {NB}  + overrightarrow {NC}  = overrightarrow 0 .)

b) Với các điểm (M, N) ở câu a) , tìm các số (p) và (q) sao cho

(overrightarrow {MN}  = poverrightarrow {AB}  + qoverrightarrow {AC} .) 

Hướng dẫn trả lời

a)  Ta có (overrightarrow {MA}  – overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MC}  = overrightarrow 0 , Leftrightarrow ,overrightarrow {BA}  + overrightarrow {MC}  = overrightarrow 0 )

( Leftrightarrow ,overrightarrow {CM}  = overrightarrow {BA} ,.) Do đó (ABCM) là hình bình hành.

Gọi (I) là trung điểm của (BC), ta có (overrightarrow {NB}  + overrightarrow {NC}  = 2overrightarrow {NI} ) suy ra (2overrightarrow {NA}  + 2overrightarrow {NI}  = overrightarrow 0 )

( Rightarrow ,,overrightarrow {NA}  + overrightarrow {NI}  = overrightarrow 0 ,,,, Rightarrow ,N,) là trung điểm của (AI).

b) Từ câu a), ta biểu diễn (overrightarrow {AM} ,,overrightarrow {AN} ) qua (overrightarrow {AB} ,,overrightarrow {AC} ).

(eqalign{
& overrightarrow {MA} – overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} = overrightarrow 0 ,, Leftrightarrow , – overrightarrow {AM} – (overrightarrow {AB} – overrightarrow {AM} ) + (overrightarrow {AC} – overrightarrow {AM} )=overrightarrow 0 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,overrightarrow {AM} = – overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} cr
& 2overrightarrow {NA} + overrightarrow {NB} + overrightarrow {NC} = overrightarrow 0 ,, Leftrightarrow , – 2overrightarrow {AN} + overrightarrow {AB} – overrightarrow {AN} + overrightarrow {AC} – overrightarrow {AN} = overrightarrow 0 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,4overrightarrow {AN} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC}Leftrightarrow  overrightarrow {AN}= {1 over 4}(overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} ) cr
& Rightarrow ,,overrightarrow {MN} = overrightarrow {AN} – overrightarrow {AM} = {1 over 4}(overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} ) + overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} = {5 over 4}overrightarrow {AB} – {3 over 4}overrightarrow {AC} cr} )

Vậy (p = {5 over 4},;,q =  – {3 over 4}.)