Bài 4 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

Cho dãy số (left( {{u_n}} ight) ) :

({ m{ }}left{ matrix{
{u_1} = 1,{u_2} = 2 hfill cr
{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{ m,,{ với,, n}} ge { m{2}} hfill cr} ight.) 

a)      Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

b)      Lập dãy số (left( {{v_n}} ight) ) với ({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}). Chứng minh dãy số (left( {{v_n}} ight) ) là cấp số cộng ;

c)      Tìm công thức tính (left( {{u_n}} ight) ) theo n.

Giải:

a)      Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11

b)      Từ công thức xác định dãy số ta có

({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1) hay ({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1)   (1)

Vì ({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}) nên từ (1), ta có

({v_n} = {v_{n - 1}} + 1) với (n ge 2)    (2)

Vậy (left( {{v_n}} ight) ) là cấp số cộng với ({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1) công sai d = 1

c)      Để tính (left( {{u_n}} ight) ) ta viết

(eqalign{
& {v_1} = 1 cr
& {v_2} = {u_3} - {u_2} cr
& {v_3} = {u_4} - {u_3} cr
& ... cr
& {v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} cr
& {v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}} cr}) 

Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được

({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}) suy ra

({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 + {{nleft( {n - 1} ight)} over 2})