Bài 3 trang 179 SGK Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình...

Bài 3. Giải các phương trình

a) (2sin {x over 2}{cos ^2}x – 2sin {x over 2}{sin ^2}x = {cos ^2}x – {sin ^2}x)

b) (3cos x + 4sin x = 5)

c) (sin x + cos x = 1 + sin x. cosx)

d) (sqrt {1 – cos x}  = sin x(x in left[ {pi ,3pi } ight])

e) ((cos{x over 4} – 3sin x)sinx + (1 + sin{x over 4} – 3cos x)cosx = 0)

Trả lời:

a)

(eqalign{
& 2sin {x over 2}{cos ^2}x – 2sin {x over 2}{sin ^2}x = {cos ^2}x – {sin ^2}x cr
& Leftrightarrow 2sin {x over 2}({cos ^2}x – {sin ^2}x) = {cos ^2}x – {sin ^2}x cr
& Leftrightarrow 2sin {x over 2}.cos2x = cos 2x Leftrightarrow cos 2x(2sin {x over 2} – 1) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
cos 2x = 0 hfill cr
sin {x over 2} = {1 over 2} = sin {pi over 6} hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
2x = {pi over 2} + kpi hfill cr
left[ matrix{
{x over 2} = {pi over 6} + kpi hfill cr
{x over 2} = pi – {pi over 6} + kpi hfill cr} ight. hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = {pi over 3} + k2pi hfill cr
x = {{5pi } over 3} + k2pi hfill cr} ight.(k inmathbb Z) cr} )

 b) Ta có:

(eqalign{
& 3cos{ m{ }}x + 4sin{ m{ }}x = 5 cr
& Leftrightarrow {3 over 5}cos x + {4 over 5}sin x = 1 cr
& Leftrightarrow cos xcos varphi + sin xsin varphi = 1( ext { với }cosvarphi = {3 over 5};sin varphi = {4 over 5});(0 < varphi < {pi over 2}) cr
& Leftrightarrow cos (x – varphi ) = 1 cr
& Leftrightarrow x – varphi = k2pi (k inmathbb Z) cr
& Leftrightarrow x = varphi + k2pi (k inmathbb Z)cr} )

c)

(sin x + cosx = 1 + sinx. cosx)

(⇔ sin x – sin x. cosx + cosx – 1= 0)

(⇔ sin x ( 1 – cosx) – (1 – cosx) = 0)

(eqalign{
& Leftrightarrow (1 – cos x)(sin x – 1) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
{mathop{ m cosx} olimits} = 1 hfill cr
sinx = 1 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = k2pi hfill cr
x = {pi over 2} + k2pi hfill cr} ight.(k in mathbb Z) cr} )

d) Điều kiện (sin x ≥ 0). Khi đó:

(eqalign{
& sqrt {1 – cos x} = sin x cr
& Leftrightarrow 1cos x = {sin ^2}x cr
& Leftrightarrow 1 – {sin ^2}x – cos x = 0 cr
& Leftrightarrow {cos ^2}x – cos x = 0 cr
& Leftrightarrow cos x(cosx – 1) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
cos x = 0 hfill cr
cos x = 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 2} + kpi hfill cr
x = k2pi hfill cr} ight.;k inmathbb Z cr})

 Vì ( x ∈ [π, 3π]) và (sinx ≥ 0) nên ta chọn:

(eqalign{
& k = 2 Rightarrow x = {{5pi } over 2} cr
& k = 1 Rightarrow x = 2pi cr} )

 e)

(eqalign{
& (cos{x over 4} – 3sin x)sinx + (1 + sin{x over 4} – 3cos x)cosx = 0 cr
& Leftrightarrow sin xcos {x over 4} + cos xsin {x over 4} + cos x – 3({sin ^2}x + {cos ^2}x) = 0 cr
& Leftrightarrow sin (x + {x over 4}) + cos x – 3 = 0 Leftrightarrow sin {{5x} over 4} + cos x = 3 cr} )

Vì (sin {{5x} over 4} le 1) , (cosx ≤ 1) nên phương trình trên vô nghiệm.