Bài 3 trang 118 Hình học 10 Nâng cao: Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O?...

Cho đường thẳng (d:x – y + 2 = 0) và điểm A(2, 0)

a) Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.

b) Tìm điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng d.

c) Tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác OMA nhỏ nhất.

Giải

a) Điểm M và O nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi

((x – y + 2).(0 – 0 + 2) > 0,,, Leftrightarrow ,,,x – y + 2 > 0)

Ta có : ({x_A} – {y_A} + 2 = 2 – 0 + 2 = 4 > 0) , do đó A nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là d và chứa O.

b) Gọi d’ là đường thẳng qua O và vuông góc với d thì phương trình tổng quát của d’ là  (d’: x+y=0). Gọi H là hình chiếu của O lên d thì tọa độ H là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
x – y = – 2 hfill cr
x + y = 0 hfill cr} ight.,,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
x = – 1 hfill cr
y = 1 hfill cr} ight.)

Vậy (H(-1, 1))

Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua d thì H là trung điểm của OO’ do đó

(left{ matrix{
{x_H} = {{{x_O} + {x_{O’}}} over 2} hfill cr
{y_H} = {{{y_O} + {y_{O’}}} over 2} hfill cr} ight.,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ matrix{
{x_{O’}} = 2{x_H} – {x_O} = – 2 hfill cr
{y_{O’}} = 2{y_H} – {y_O} = 2 hfill cr} ight.) 

Vậy (O'(-2, 2))

c) OA không đổi nên chu vi tam giác AMO nhỏ nhất  khi tổng MO+MA nhỏ nhất.

Ta có: (MO = MO’Rightarrow ,,,MO + MA = MO’ + MA ge ,AO’)

( Rightarrow ,,MO + MA) nhỏ nhất khi A, M, O’ thẳng hàng , khi đó M là giao điểm của d với đường thẳng O’A.

Phương trình O’A :

(eqalign{
& {{x – {x_A}} over {{x_{O’}} – {x_A}}} = {{y – {y_A}} over {{y_{O’}} – {y_A}}} cr
& {{x – 2} over { – 2 – 2}} = {{y – 0} over {2 – 0}},,,,, Leftrightarrow ,,,x + 2y – 2 = 0 cr} )

Tọa độ M là nghiệm của hệ: 

(left{ matrix{
x – y = – 2 hfill cr
x + 2y = 2 hfill cr} ight.,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
x = – {2 over 3} hfill cr
y = {4 over 3} hfill cr} ight.,,)

Vậy (Mleft( { – {2 over 3},;,{4 over 3}} ight))