Bài 3.9 trang 140 Sách bài tập Hình học 11: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn...
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ . Chứng minh rằng AB ⊥ CD.. Bài 3.9 trang 140 Sách bài tập (SBT) Hình học 11 – Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD ...
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ . Chứng minh rằng AB ⊥ CD.
Giải:
Ta cần chứng minh (overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}} = 0)
Đặt (overrightarrow {AB} = overrightarrow b ,,,overrightarrow {AC} = overrightarrow c ,,,overrightarrow {AD} = overrightarrow d ). Ta có:
(overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AN} = – {1 over 2}overrightarrow {AC} + {1 over 2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} } ight))
Suy ra (overrightarrow {MN} = {1 over 2}left( {overrightarrow b + overrightarrow d – overrightarrow c } ight))
(eqalign{
& overrightarrow {QP} = overrightarrow {QA} + overrightarrow {AP} cr
& = – {1 over 2}overrightarrow {A{
m{D}}} + {1 over 2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} }
ight) cr
& = {1 over 2}left( {overrightarrow b + overrightarrow c – overrightarrow d }
ight) cr} )
Theo giả thiết ta có:
(MN = PQ Leftrightarrow {overrightarrow {MN} ^2} = {overrightarrow {QP} ^2})
(eqalign{
& {left( {overrightarrow b + overrightarrow d – overrightarrow c }
ight)^2} = {left( {overrightarrow b + overrightarrow c – overrightarrow d }
ight)^2} cr
& Leftrightarrow overrightarrow b .overrightarrow d – overrightarrow b .overrightarrow c = overrightarrow b .overrightarrow c – overrightarrow b .overrightarrow d cr
& Leftrightarrow 2overrightarrow b .overrightarrow d – 2overrightarrow b .overrightarrow c = 0 cr
& Leftrightarrow overrightarrow b .left( {overrightarrow d – overrightarrow c }
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow overrightarrow {AB} .left( {overrightarrow {A{
m{D}}} – overrightarrow {AC} }
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{
m{D}}} = 0 Leftrightarrow overrightarrow {AB} ot overrightarrow {C{
m{D}}} cr} )
