Bài 3.10 trang 140 SBT Hình học 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC...

Cho hình chóp tam giác S.ABC có (SA = SB = SC = AB = AC = a) và (BC = asqrt 2 ). Tính góc giữa hai vectơ (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {SC} ).

Giải:

Ta tính côsin của góc giữa hai vectơ (overrightarrow {SC} ) và (overrightarrow {AB} ). Ta có

(eqalign{
& cos left( {overrightarrow {SC} ,overrightarrow {AB} } ight) = {{overrightarrow {SC} .overrightarrow {AB} } over {left| {overrightarrow {SC} } ight|.left| {overrightarrow {AB} } ight|}} cr
& = {{left( {overrightarrow {SA} + overrightarrow {AC} } ight).overrightarrow {AB} } over {{a^2}}} = {{overrightarrow {SA} .overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} } over {{a^2}}} cr} ) 

Theo giả thiết ta suy ra hình chóp có các tam giác đều là SAB, SAC và các tam giác vuông là ABC vuông tại A và SBC vuông tại S.

Do đó (overrightarrow {SA} .overrightarrow {AB}  = a.a.cos 120^circ  =  – {{{a^2}} over 2}) và (overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB}  = 0)

Vậy (cos left( {overrightarrow {SC} ,overrightarrow {AB} } ight) = {{ – {{{a^2}} over 2} + 0} over {{a^2}}} =  – {1 over 2})

Hay (left( {overrightarrow {SC} ,overrightarrow {AB} } ight) = {120^0})

Vậy góc giữa hai vectơ (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {SC} ) bằng 120°