Bài 3.9 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho một vecto tùy ý khác vecto . Gọi là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto . Chứng minh rằng:

Trong không gian Oxyz cho một vecto (overrightarrow a ) tùy ý khác vecto (overrightarrow 0 ). Gọi (alpha ,eta ,gamma ) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị (overrightarrow i ,overrightarrow j ,overrightarrow k ) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto (overrightarrow a ) . Chứng minh rằng: ({cos ^2}alpha  + {cos ^2}eta  + {cos ^2}gamma  = 1)

Hướng dẫn làm bài:

Gọi (overrightarrow {{a_0}} ) là vecto đơn vị cùng hướng  với vecto (overrightarrow a ) , ta có (overrightarrow {{a_0}}  = {1 over {|overrightarrow a |}}overrightarrow a ).

Gọi (overrightarrow {O{A_0}}  = overrightarrow {{a_0}} ) và các điểm A₁, A₂, A₃ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A₀ trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có:   ({{|overrightarrow {O{A_1}} |} over {|overrightarrow {O{A_0}} |}} = cos alpha ,{{|overrightarrow {O{A_2}} |} over {|overrightarrow {O{A_0}|} }} = cos eta ,{{|overrightarrow {O{A_3}} |} over {|overrightarrow {O{A_0}} |}} = cos gamma )

Vì  (|overrightarrow {O{A_0}} | = 1) nên (|overrightarrow {O{A_1}} | = cos alpha ,|overrightarrow {O{A_2}} | = cos eta ,|overrightarrow {O{A_3}} | = cos gamma )

Ta có   (overrightarrow {O{A_0}}  = overrightarrow {O{A_1}}  + overrightarrow {O{B_2}}  + overrightarrow {O{A_3}} )  , ta suy ra: (overrightarrow {O{A_0}}  = cos alpha overrightarrow i  + cos eta overrightarrow j  + cos gamma overrightarrow k )  hay (overrightarrow {O{A_0}}  = (cos alpha ;cos eta ;cos gamma ))  .

Vì   (overrightarrow {O{A_0}}  = overrightarrow {{a_0}} ) mà (|overrightarrow {{a_0}} | = 1) nên ta có: ({cos ^2}alpha  + {cos ^2}eta  + {cos ^2}gamma  = 1)

Sachbaitap.com