Bài 3.69 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0),...

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm   A(1; 0; 0),  B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng x² + y² + z² –2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:

(left{ {matrix{{1 – 2a + d = 0} cr {1 – 2b + d = 0} cr {1 – 2c + d = 0} cr {2 – 2a – 2b + d = 0} cr} } ight.Leftrightarrow  left{ {matrix{{a = {1 over 2}} cr {b = {1 over 2}} cr {c = {1 over 2}} cr {d = 0} cr} } ight.)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x² + y² + z² – x – y – z = 0

b) Ta có  (overrightarrow {AC}  = ( – 1;0;1)) và (overrightarrow {AD}  = (0;1;0))

Suy ra (ACD) có vecto pháp tuyến (overrightarrow n  = overrightarrow {AC}  wedge overrightarrow {AD}  = ( – 1;0; – 1))  hay (overrightarrow {n’}  = (1;0;1))

Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là x – 1 + z = 0  hay x + z – 1 = 0

Mặt cầu (S) có tâm (I({1 over 2};{1 over 2};{1 over 2}))

Ta có (I in (ACD)), suy ra mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo một đường tròn có tâm (I({1 over 2};{1 over 2};{1 over 2})) và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu (S), vậy: (r = sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d}  = sqrt {{1 over 4} + {1 over 4} + {1 over 4}}  = {{sqrt 3 } over 2}).