Bài 3.11 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) (left( {1 - {m^2}} ight){left( {x + 1} ight)^3} + {x^2} - x - 3 = 0) ;

b) (mleft( {2cos x - sqrt 2 } ight) = 2sin 5x + 1)    

Giải:

a) (left( {1 - {m^2}} ight){left( {x + 1} ight)^3} + {x^2} - x - 3 = 0)    

(fleft( x ight) = left( {1 - {m^2}} ight){left( {x + 1} ight)^3} + {x^2} - x - 3) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có (fleft( { - 1} ight) =  - 1 < 0) và (fleft( { - 2} ight) = {m^2} + 2 > 0) nên (fleft( { - 1} ight)fleft( { - 2} ight) < 0) với mọi m.

Do đó, phương trình (fleft( x ight) = 0) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình (left( {1 - {m^2}} ight){left( {x + 1} ight)^3} + {x^2} - x - 3 = 0) luôn có nghiệm với mọi m.

b) (mleft( {2cos x - sqrt 2 } ight) = 2sin 5x + 1)    

HD : Xét hàm số (fleft( x ight) = mleft( {2cos x - sqrt 2 } ight) - 2sin 5x - 1) trên đoạn (left[ { - {pi  over 4};{pi  over 4}} ight])