Bài 20 trang 181 SGK Đại số và giải tích 11: ÔN TẬP CUỐI NĂM – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11...

Bài 20. Cho các hàm số: f(x) = (x^3+ bx^2+ cx + d) (C)

                               ( g(x) = x^2– 3x + 1)

với các số (b, c, d) tìm được ở bài 19, hãy:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ (x = -1)

b) Giải phương trình (f’(sinx) = 0)

c) Tìm (mathop {lim }limits_{x o 0} {{f”(sin 5x) + 1} over {g'(sin 3x) + 3}})

Giải

Ở bài 19 cho:

(left{ matrix{
b = – {1 over 2} hfill cr
c = 0 hfill cr
d = – {3 over 2} hfill cr} ight.)

suy ra: (f(x) = {x^3} – {1 over {2}}{x^2} – {3 over 2}(C))

a) Ta có: 

(eqalign{
& {x_0} = – 1 Rightarrow {y_0}={( – 1)^3} – {1 over 2}{( – 1)^2} – {3 over 2} = – 3 cr
& f'(x) = 3{x^2} – x Rightarrow f'(-1) = 3.(-1)^2 -(- 1) = 4 cr} )

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại (x_0= -1) là:

(y + 3 = 4(x + 1) ⇔ y = 4x + 1)

b) Ta có:

(eqalign{
& f'(sin x) = 0 cr
& Leftrightarrow 3.{sin ^2}x – sin x = 0 cr
& Leftrightarrow sin x.(3.sin x – 1) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = 0 hfill cr
sin x = {1 over 3} hfill cr} ight. cr
& sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi (k in mathbb Z) cr
& sin x = {1 over 3} Leftrightarrow left[ matrix{
x = arcsin {1 over 3} + k2pi hfill cr
x = pi – { m{arcsin}}{1 over 3} + k2pi hfill cr} ight. cr})

c) Tìm (mathop {lim }limits_{x o 0} {{f”(sin 5x) + 1} over {g'(sin 3x) + 3}})

Ta có:

(f’'(x) = 6x – 1 ⇒ f’’ (sin 5x) = 6.sin5x – 1)

(g’(x) = 2x – 3 ⇒ g’(sin 3x) = 2.sin 3x – 3)

Vậy:

(eqalign{
& {{f”(sin 5x) + 1} over {g'(sin 3x) + 3}} = {{6.sin 5x} over {2.sin 3x}} = 5.{{sin 5x} over {5x}}.{{3x} over {sin 3x}} cr
& Rightarrow mathop {lim }limits_{x o 0} {{f”(sin 5x) + 1} over {g'(sin 3x) + 3}} cr
& = 5.mathop {lim }limits_{x o 0} {{sin 5x} over {5x}}.lim {{3x} over {sin 3x}} = 5.1.1 = 5 cr} )